Question

半径为 $r$ 的圆内切于一个等腰直角三角形，半径为 $R$ 的圆外接于该三角形。则 $\frac{R}{r}$ 等于

A circle of radius $r$ is inscribed in a right isosceles triangle, and a circle of radius $R$ is circumscribed about the triangle. Then $\frac{R}{r}$ equals

$1+\sqrt2$

$\frac{2+\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2-1}{2}$

$\frac{1+\sqrt2}{2}$

$2(2-\sqrt2)$

答案：A

知识点：特殊直角三角形内切圆、内心与内切圆半径外接圆、外心与外接圆半径

难度评级：1670

小提示：

设每条直角边长为 $a$ ，用 $a$ 表示两个半径

Let each leg have length $a$ and express both radii in terms of $a$

大提示：

对直角三角形，外接圆半径是斜边的一半；内切圆半径为 $\frac{a+a-a\sqrt2}{2}$

For a right triangle, the circumradius is half the hypotenuse; the inradius is $\frac{a+a-a\sqrt2}{2}$

解答：

两条直角边长均为 $a$ ，斜边长为 $a\sqrt2$ ，所以 $\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

With both legs of length $a$ and hypotenuse $a\sqrt2,$ $\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 第 16 题

答案：A

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题