Question

设 $P$ 是一个三次多项式，满足 $P(0) = k$ 、 $P(1) = 2k$ 且 $P(-1) = 3k$ 。 $P(2) + P(-2)$ 等于多少？

Let $P$ be a cubic polynomial with $P(0) = k,$ $P(1) = 2k,$ and $P(-1) = 3k.$ What is $P(2) + P(-2)?$

$0$

$k$

$6k$

$7k$

$14k$

答案：E

知识点：多项式方程组对称性（代数）

难度评级：1950

小提示：

利用 $P(0)=k$ ，写 $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ 。

Write $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ using $P(0)=k$

大提示：

把 $P(1)$ 和 $P(-1)$ 相加可分离出 $b$ ，且 $P(2)+P(-2) = 8b + 2k$ 。

Adding $P(1)$ and $P(-1)$ isolates $b,$ and $P(2)+P(-2) = 8b + 2k$

解答：

因为 $P(0) = k$ ，写作 $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ 。

于是 $P(1) = a+b+c+k = 2k$ ，且 $P(-1) = -a+b-c+k = 3k$ 。两式相加得 $2b + 2k = 5k$ ，所以 $2b = 3k$ 。

在和中奇次项抵消： $\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k\text{。} \end{gathered}$ 因为 $8b = 4(2b) = 12k$ ，所以这个和等于 $12k + 2k = 14k$ 。

所以正确答案是 E。

Since $P(0) = k,$ write $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.$

Then $P(1) = a+b+c+k = 2k$ and $P(-1) = -a+b-c+k = 3k.$ Adding these gives $2b + 2k = 5k,$ so $2b = 3k.$

The odd-power terms cancel in the sum: $\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}$ Since $8b = 4(2b) = 12k,$ this equals $12k + 2k = 14k.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B 第 16 题

答案：E

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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