Question

方程 $(z+6)^8=81$ 的解在复平面中连成一个凸正多边形，其中三个顶点标为 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 。 $\triangle ABC$ 的最小可能面积是多少？

The solutions to the equation $(z+6)^8=81$ are connected in the complex plane to form a convex regular polygon, three of whose vertices are labeled $A,$ $B,$ and $C.$ What is the least possible area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{1}{6}\sqrt{6}$

$\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}$

$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

$\sqrt{3}-1$

答案：B

知识点：单位根正多边形三角形面积

难度评级：1990

小提示：

平移 $6$ 不改变形状； $z^8=81$ 的根形成正八边形。

Shifting by $6$ does not change the shape; the roots of $z^8=81$ form a regular octagon

大提示：

外接圆半径为 $81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3$ ，最小三角形使用三个相邻顶点。

The circumradius is $81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3,$ and the smallest triangle uses three consecutive vertices

解答：

平移 $6$ 后， $z^8=81$ 的解是半径为 $81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3$ 的圆上的八个点，构成正八边形。面积最小的三角形使用三个连续顶点。

取 $A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right)$ 、 $B=(\sqrt3,0)$ 和 $C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right)$ 。此时 $AC=\sqrt6$ ，高为 $\sqrt3-\tfrac12\sqrt6$ ，所以面积为 $\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2} \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Translating by $6,$ the solutions of $z^8=81$ are eight points on a circle of radius $81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3,$ forming a regular octagon. The minimum-area triangle uses three consecutive vertices.

Take $A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right),$ $B=(\sqrt3,0),$ and $C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right).$ Then $AC=\sqrt6$ and the height is $\sqrt3-\tfrac12\sqrt6,$ so the area is $\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12B 第 16 题

答案：B

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题