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2018 AMC 12B 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

设 pp 和 qq 为正整数，满足 59<pq<47 \dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7} 且 qq 尽可能小。求 q−pq-p。

Let pp and qq be positive integers such that 59<pq<47 \dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7} and qq is as small as possible. What is q−p?q-p?

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答案：A
知识点：分数不等式极限情形界定
难度评级：2090
小提示：

由于 9p>5q9p\gt5q 且 4q>7p4q\gt7p，并且两边都是整数，有 9p−5q≥19p-5q\ge1 和 4q−7p≥14q-7p\ge1。

Since 9p>5q9p\gt5q and 4q>7p4q\gt7p with integer sides, 9p−5q≥19p-5q\ge1 and 4q−7p≥14q-7p\ge1

大提示：

写出 47−59=163\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63}，再把这些不等式相加来限制 qq。

Add these after writing 47−59=163\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63} to bound qq

解答：

由 59<pq\tfrac59\lt\tfrac pq 得 9p−5q≥19p-5q\ge1，由 pq<47\tfrac pq\lt\tfrac47 得 4q−7p≥14q-7p\ge1。于是 163=47−59=4q−7p7q+9p−5q9q≥17q+19q=1663q。 \begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q} \end{gathered}\text{。}

因此 q≥16q\ge16。当 q=16q=16 时，分数 916\tfrac{9}{16} 严格介于 59\tfrac59 和 47\tfrac47 之间，所以 p=9p=9，且 q−p=16−9=7q-p=16-9=7。

所以正确答案是 A。

From 59<pq\tfrac59\lt\tfrac pq we get 9p−5q≥1,9p-5q\ge1, and from pq<47\tfrac pq\lt\tfrac47 we get 4q−7p≥1.4q-7p\ge1. Now 163=47−59=4q−7p7q+9p−5q9q≥17q+19q=1663q. \begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}

Hence q≥16.q\ge16. With q=16,q=16, the fraction 916\tfrac{9}{16} lies strictly between 59\tfrac59 and 47,\tfrac47, so p=9p=9 and q−p=16−9=7.q-p=16-9=7.

Thus, the correct answer is A.

第 16 题#16
完整试卷
第 18 题#18

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