Question

有多少个正整数有序对 $(b, c)$ ，使得 $x^2 + bx + c = 0$ 和 $x^2 + cx + b = 0$ 都没有两个不同的实数解？

For how many ordered pairs $(b, c)$ of positive integers does neither $x^2 + bx + c = 0$ nor $x^2 + cx + b = 0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$12$

$16$

答案：B

知识点：二次方程不等式

难度评级：1910

小提示：

“没有两个不同的实数解”表示每个判别式都 $\le 0$ ： $b^2 \le 4c$ 且 $c^2 \le 4b$ 。

“No two distinct real solutions” means each discriminant is $\le 0:$ $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b$

大提示：

相乘得 $b^2c^2 \le 16bc$ ，所以 $bc \le 16$ ；检验小的正整数

Multiplying gives $b^2c^2 \le 16bc,$ so $bc \le 16;$ test small positive integers

解答：

两个二次方程都没有两个不同实根，当且仅当两个判别式都非正： $b^2 \le 4c$ 且 $c^2 \le 4b$ 。

把 $c\ge \frac{b^2}{4}$ 与 $c\le2\sqrt b$ 结合，得到 $b^{\frac{3}{2}}\le8$ ，所以 $b\le4$ 。逐一检查： $b = 1$ 时 $c \in \{1,2\}$ ； $b = 2$ 时 $c \in \{1,2\}$ ； $b = 3$ 时 $c = 3$ ； $b = 4$ 时 $c = 4$ 。

这些为 $(1,1)$ 、 $(1,2)$ 、 $(2,1)$ 、 $(2,2)$ 、 $(3,3)$ 、 $(4,4)$ ，共 $6$ 个有序对。

所以正确答案是 B。

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive: $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b.$

Combining $c\ge \frac{b^2}{4}$ with $c\le2\sqrt b$ gives $b^{\frac{3}{2}}\le8,$ so $b\le4.$ Checking: $b = 1$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ gives $c = 3;$ and $b = 4$ gives $c = 4.$

That is $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ — $6$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall 第 17 题

答案：B

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题