Question

用 $2n$ 条等间隔的半径 $(n\gt0)$ 和一条割线分割一个圆盘。该圆盘最多能被分成多少个互不重叠的区域：

A circular disk is divided by $2n$ equally spaced radii $(n\gt0)$ and one secant line. The maximum number of nonoverlapping areas into which the disk can be divided is:

$2n+1$

$2n+2$

$3n-1$

$3n$

$3n+1$

答案：E

知识点：区域计数交点计数圆

难度评级：2060

小提示：

从这 $2n$ 条半径形成的扇形数开始计算

Begin with the $2n$ sectors made by the radii

大提示：

一条割线至多与 $n$ 条半径相交，再数割线弦段被分成的部分

A secant can cross at most $n$ of the radii, so count the pieces of the secant chord

解答：

这些半径先形成 $2n$ 个扇形。一条不过圆心的割线在 $n$ 对反向半径中的每一对里至多与一条相交，因此至多与 $n$ 条半径相交。这些交点把圆内的割线弦段分成 $n+1$ 段，每段都会增加一个区域。因此最大区域数为 $2n+(n+1)=3n+1$ 。

因此，正确答案为 E。

The radii first make $2n$ sectors. A secant not through the center can meet at most one radius in each of $n$ opposite pairs, hence at most $n$ radii. Those intersections divide the secant chord into $n+1$ pieces, each of which adds one region. The maximum is therefore $2n+(n+1)=3n+1.$

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 第 17 题

答案：E

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题