Question

在长方形 $ABCD$ 中，角 $C$ 被 $\overline{CF}$ 和 $\overline{CE}$ 三等分，其中 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上， $F$ 在 $\overline{AD}$ 上， $BE=6$ ，且 $AF=2$ 。下列哪一个数最接近长方形 $ABCD$ 的面积？

In rectangle $ABCD,$ angle $C$ is trisected by $\overline{CF}$ and $\overline{CE},$ where $E$ is on $\overline{AB},$ $F$ is on $\overline{AD},$ $BE=6,$ and $AF=2.$ Which of the following is closest to the area of the rectangle $ABCD?$

$110$

$120$

$130$

$140$

$150$

答案：E

知识点：三角学 rectangle area

难度评级：1830

小提示：

$C$ 处的三个角各为 $30^\circ$

Each of the three angles at $C$ is $30^\circ$

大提示：

利用与边 $CB$ 和 $CD$ 相邻的两个直角三角形，求出长方形的高和宽

Use the two right triangles adjacent to sides $CB$ and $CD$ to determine the rectangle’s height and width

解答：

设长方形的宽为 $w$ ，高为 $h$ 。在直角三角形 $CBE$ 中， $\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h}$ ，所以 $h=6\sqrt3$ 。在由 $C,F,D$ 构成的三角形中，水平距离为 $w$ ，竖直下降距离为 $h-2$ ，所以 $\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}$ 。因此 $w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3\text{。}$ 面积为 $6\sqrt3(18-2\sqrt3)$ $=108\sqrt3-36\approx151.1$ ，最接近 $150$ 。所以正确答案是 E。

Let the rectangle have width $w$ and height $h.$ In right triangle $CBE,$ $\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h},$ so $h=6\sqrt3.$ In the triangle using $C,F,D,$ the horizontal run is $w$ and the vertical drop is $h-2,$ so $\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}.$ Hence $w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3.$ The area is $6\sqrt3(18-2\sqrt3)$ $=108\sqrt3-36\approx151.1,$ closest to $150.$ Thus the correct answer is E.

1996 AMC 12 第 17 题

答案：E

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题