Question

一个半径为 $2$ 的圆，圆心为 $(2,0)$ 。另一个半径为 $1$ 的圆，圆心为 $(5,0)$ 。一条直线在第一象限内的两点分别与这两个圆相切。下列哪一个数最接近该直线的 $y$ 轴截距？

A circle of radius $2$ has center at $(2,0).$ A circle of radius $1$ has center at $(5,0).$ A line is tangent to the two circles at points in the first quadrant. Which of the following is closest to the $y$ -intercept of the line?

$\frac{\sqrt2}{4}$

$\frac{\sqrt8}{3}$

$1+\sqrt3$

$2\sqrt2$

$3$

答案：D

知识点：坐标几何 common tangents

难度评级：1960

小提示：

把切线写成 $y=mx+b$ ，并对两个圆心分别使用点到直线的距离公式

Write the tangent as $y=mx+b$ and use point-to-line distance for each center

大提示：

先将两个距离方程相减求出斜率，再求截距

Subtract the two distance equations to determine the slope before solving for the intercept

解答：

把上方的公切线写成 $mx-y+b=0$ ，并令 $s=\sqrt{m^2+1}$ 。两个圆心到直线的距离给出 $2m+b=2s,\qquad 5m+b=s\text{。}$ 因此 $3m=-s$ ，所以 $9m^2=m^2+1$ ，且 $m=-\frac{1}{\sqrt8}$ 。由第二个方程， $\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 D。

Write the upper common tangent as $mx-y+b=0$ and let $s=\sqrt{m^2+1}.$ The two center-to-line distances give $2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.$ Thus $3m=-s,$ so $9m^2=m^2+1$ and $m=-\frac{1}{\sqrt8}.$ From the second equation, $\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is D.

1996 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题