Question

函数 $\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)$ 的定义域是一个长度为 $\dfrac{m}{n}$ 的区间，其中 $m$ 、 $n$ 是互质正整数。 $m+n$ 是多少？

The domain of the function $\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)$ is an interval of length $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$19$

$31$

$271$

$319$

$511$

答案：C

知识点：对数不等式

难度评级：1910

小提示：

从外向内逐层剥离对数，并要求每一层的真数为正。

Peel the logarithms from the outside in, requiring each argument to be positive

大提示：

记住底数小于 $1$ 会反转不等号；每得到一个真数为正的条件就先化简它，再处理下一层内部的对数。

Remember that bases below $1$ reverse inequalities; translate each successive positivity condition before moving to the next inner logarithm

解答：

从外向内看， $f$ 有定义当且仅当 $\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)$ $\gt0$ ，这等价于 $\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1$ 。

因为底数 $\tfrac14\lt1$ ，这意味着 $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14$ ，于是 $1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2$ 。

又因为 $\tfrac{1}{16}\lt1$ ，不等号反向，得到 $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1$ ，即 $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}$ 。区间长度为 $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256}$ ，所以 $m+n=15+256=271$ 。

所以正确答案是 C。

Working from the outside, $f$ is defined exactly when $\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)$ $\gt0,$ which is equivalent to $\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.$

Since the base $\tfrac14\lt1,$ this means $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14,$ hence $1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.$

As $\tfrac{1}{16}\lt1,$ this reverses to $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,$ i.e. $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.$ The length is $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},$ so $m+n=15+256=271.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

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解答：

其他年份的第 18 题