Question

函数 $f(x) = x^2 - ax + 2a$ 的零点都是整数。 $a$ 的所有可能值之和是多少？

The zeros of the function $f(x) = x^2 - ax + 2a$ are integers. What is the sum of the possible values of $a?$

$7$

$8$

$16$

$17$

$18$

答案：C

知识点：韦达定理西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：1990

小提示：

如果整数根为 $p,q$ 则 $p+q = a$ 且 $pq = 2a$ 。

If the integer roots are $p,q$ then $p+q = a$ and $pq = 2a$

大提示：

消去 $a$ 得 $pq = 2(p+q)$ ，即 $(p-2)(q-2) = 4$

Eliminate $a$ to get $pq = 2(p+q),$ i.e. $(p-2)(q-2) = 4$

解答：

设整数零点为 $p$ 和 $q$ 。由韦达定理， $p + q = a$ 且 $pq = 2a$ ，所以 $pq = 2(p+q)$ 。整理得 $(p-2)(q-2) = 4\text{。}$

$4$ 的整数因子对为 $(1,4)$ 、 $(2,2)$ 、 $(4,1)$ 、 $(-1,-4)$ 、 $(-2,-2)$ 、 $(-4,-1)$ 。由此得到的 $(p,q)$ 对应的和为 $a = 9, 8, -1$ 和 $0$ 。

$a$ 的不同可能值为 $9, 8, 0, -1$ ，它们的和为 $16$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the integer zeros be $p$ and $q.$ By Vieta’s formulas $p + q = a$ and $pq = 2a,$ so $pq = 2(p+q).$ Rearranging gives $(p-2)(q-2) = 4.$

The integer factor pairs of $4$ are $(1,4),$ $(2,2),$ $(4,1),$ $(-1,-4),$ $(-2,-2),$ $(-4,-1),$ which yield $(p,q)$ pairs summing to $a = 9, 8, -1,$ and $0.$

The distinct possible values of $a$ are $9, 8, 0, -1,$ whose sum is $16.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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