Question

三角形 $ABC$ 满足 $AB = 27$ 、 $AC = 26$ 、 $BC = 25$ 。设 $I$ 为 $\triangle ABC$ 内角平分线的交点。求 $BI$ ？

Triangle $ABC$ has $AB = 27,$ $AC = 26,$ and $BC = 25.$ Let $I$ denote the intersection of the internal angle bisectors of $\triangle ABC.$ What is $BI?$

$15$

$5 + \sqrt{26} + 3\sqrt{3}$

$3\sqrt{26}$

$\dfrac{2}{3}\sqrt{546}$

$9\sqrt{3}$

答案：A

知识点：内切圆、内心与内切圆半径海伦公式勾股定理

难度评级：1980

小提示：

从 $I$ 向边作垂线；从 $B$ 引出的切线段长度为 $s - b$

Drop perpendiculars from $I$ to the sides; the tangent segment from $B$ has length $s - b$

大提示：

用面积 $= rs$ 和海伦公式求内切圆半径，再使用两直角边为 $r$ 和 $BD$ 的直角三角形

Find the inradius from area $= rs$ and Heron’s formula, then use the right triangle with legs $r$ and $BD$

解答：

设 $D$ 为内心 $I$ 到 $BC$ 的垂足。切线段长度 $BD = s - AC$ ，其中 $s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39$ ，所以 $BD = 39 - 26 = 13$ 。

由海伦公式，面积为 $\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}$ ，内切圆半径满足 $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ $= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}$ $= 56$ 。

在直角三角形 $BDI$ 中， $BI^2 = r^2 + BD^2$ $= 56 + 169$ $= 225$ ，所以 $BI = 15$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $D$ be the foot of the perpendicular from the incenter $I$ to $BC.$ The tangent length $BD = s - AC,$ where $s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,$ so $BD = 39 - 26 = 13.$

By Heron’s formula the area is $\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},$ and the inradius satisfies $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ $= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}$ $= 56.$

In right triangle $BDI,$ $BI^2 = r^2 + BD^2$ $= 56 + 169$ $= 225,$ so $BI = 15.$

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12A 第 18 题

答案：A

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题