Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是数字，且 $a\ne0$ 。三位整数 $\overline{abc}$ 位于某个正整数平方与下一个更大正整数平方之间三分之一处。整数 $\overline{acb}$ 位于同两个平方之间三分之二处。求 $a+b+c$ 。

Let $a,$ $b,$ and $c$ be digits with $a\ne0.$ The three-digit integer $\overline{abc}$ lies one third of the way from the square of a positive integer to the square of the next larger integer. The integer $\overline{acb}$ lies two thirds of the way between the same two squares. What is $a+b+c?$

$10$

$13$

$16$

$18$

$21$

答案：C

知识点：完全平方数位值整除性

难度评级：1930

小提示：

设两个平方为 $N^2$ 和 $(N+1)^2$ ；它们差为 $2N+1$ 。

Let the two squares be $N^2$ and $(N+1)^2;$ their difference is $2N+1$

大提示：

两个位置相减得 $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}$ 。

Subtracting the two positions gives $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}$

解答：

设较小平方数为 $N^2$ ，较大平方数为 $(N+1)^2$ ，两者间隔为 $2N+1$ 。则 $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3}\text{，}$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}\text{。}$

两式相减， $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3}$ ，所以 $27(c-b)=2N+1$ 。因为 $\overline{acb}$ 在区间中位置更靠后，所以 $c-b$ 为正；又因为右边是奇数，所以 $c-b$ 是奇数。若 $c-b\ge3$ ，则 $N\ge40$ ，且 $N^2$ 不再是三位数。

因此 $c-b=1$ ，得到 $N=13$ 。从 $13^2=169$ 到 $14^2=196$ 的三分之一与三分之二处分别为 $178$ 和 $187$ ，所以 $a+b+c=1+7+8=16$ 。

所以正确答案是 C。

Let the smaller square be $N^2,$ so the larger is $(N+1)^2$ and the gap is $2N+1.$ Then $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Subtracting, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ so $27(c-b)=2N+1.$ Since $\overline{acb}$ is farther along the interval, $c-b$ is positive; and because the right side is odd, $c-b$ is odd. If $c-b\ge3,$ then $N\ge40$ and $N^2$ is not three digits.

So $c-b=1,$ giving $N=13.$ The points one third and two thirds of the way from $13^2=169$ to $14^2=196$ are $178$ and $187,$ so $a+b+c=1+7+8=16.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题