Question

设 $T_k$ 是坐标平面的一个变换：先将平面绕原点逆时针旋转 $k$ 度，然后关于 $y$ 轴反射。求最小的正整数 $n$ 使得依次执行变换 $T_1$ ， $T_2$ ， $T_3$ ， $\ldots$ ， $T_n$ 后，点 $(1,0)$ 回到自身。

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1,$ $T_2,$ $T_3,$ $\ldots,$ $T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

$359$

$360$

$719$

$720$

$721$

答案：A

知识点：变换分类讨论

难度评级：2010

小提示：

角度为 $\theta$ 的点在 $T_k$ 下变为角度 $(180-k)-\theta$

A point at angle $\theta$ is sent by $T_k$ to angle $(180-k)-\theta$

大提示：

追踪 $(1,0)$ 的角度；还要考虑 $n$ 为奇数、总变换为反射的情形

Track the angle of $(1,0);$ also consider odd $n,$ where the net map is a reflection

解答：

角度为 $\theta$ 的点旋转 $k^\circ$ 后角度变为 $\theta+k$ ，再关于 $y$ 轴反射会把角度 $\phi$ 变为 $180-\phi$ 。所以 $T_k$ 把 $\theta$ 变为 $(180-k)-\theta$ 。

从角度 $0$ 的点 $(1,0)$ 出发，依次应用 $T_1,T_2,\ldots$ 得到的角度为 $179,-1,178,-2,177,\ldots$ 。经过偶数 $2m$ 步后角度为 $-m$ ，经过奇数 $2m+1$ 步后角度为 $179-m$ 。

点要回到原位，角度必须是 $360^\circ$ 的倍数。偶数情形要求 $m=360$ ，即 $n=720$ 。奇数情形要求 $179-m=0$ ，即 $m=179$ 且 $n=359$ ，此时总反射固定 $(1,0)$ 。

满足条件的最小 $n$ 是 $359$ 。

因此，正确答案是 A。

Rotating a point at angle $\theta$ by $k^\circ$ gives $\theta+k,$ and reflecting across the $y$ -axis sends angle $\phi$ to $180-\phi.$ So $T_k$ sends $\theta$ to $(180-k)-\theta.$

Starting from $(1,0)$ at angle $0,$ applying $T_1,T_2,\ldots$ gives angles $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ After an even number $2m$ of steps the angle is $-m,$ and after an odd number $2m+1$ it is $179-m.$

For the point to return, the angle must be a multiple of $360^\circ.$ The even case needs $m=360,$ i.e. $n=720.$ The odd case needs $179-m=0,$ i.e. $m=179$ and $n=359,$ where the net reflection fixes $(1,0).$

The least such $n$ is $359.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 18 题

答案：A

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题