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2018 AMC 12A 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

三角形 ABCABC 中，AB=50AB = 50、AC=10AC = 10，面积为 120120。设 DD 为 AB‾\overline{AB} 的中点，EE 为 AC‾\overline{AC} 的中点。∠BAC\angle BAC 的角平分线分别在 FF 和 GG 处与 DE‾\overline{DE} 和 BC‾\overline{BC} 相交。四边形 FDBGFDBG 的面积是多少？

Triangle ABCABC with AB=50AB = 50 and AC=10AC = 10 has area 120.120. Let DD be the midpoint of AB‾,\overline{AB}, and let EE be the midpoint of AC‾.\overline{AC}. The angle bisector of ∠BAC\angle BAC intersects DE‾\overline{DE} and BC‾\overline{BC} at FF and G,G, respectively. What is the area of quadrilateral FDBG?FDBG?

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答案：D
知识点：角平分线定理面积比中点
难度评级：1990
小提示：

因为 D,ED, E 是中点，[ADE]=14[ABC][ADE] = \tfrac14 [ABC]，所以梯形 EDBCEDBC 是剩下的 34\tfrac34。

Since D,ED, E are midpoints, [ADE]=14[ABC],[ADE] = \tfrac14 [ABC], so trapezoid EDBCEDBC is the remaining 34\tfrac34

大提示：

由角平分线定理，角平分线按 AB:AC=5:1AB : AC = 5 : 1 的比例截 DEDE 和 BCBC，使 FDBGFDBG 等于 EDBCEDBC 的 56\tfrac56。

By the Angle Bisector Theorem the bisector cuts DEDE and BCBC in ratio AB:AC=5:1,AB : AC = 5 : 1, making FDBGFDBG equal to 56\tfrac56 of EDBCEDBC

解答：

因为 DD 和 EE 是中点，△ADE\triangle ADE 的面积是 △ABC\triangle ABC 面积的 14\tfrac14 即 3030，所以梯形 EDBCEDBC 的面积为 120−30=90120 - 30 = 90。

由角平分线定理，GG 将 BCBC 分成 BG=ABAB+AC⋅BC=56BCBG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC，同样 FF 将 DEDE 分成 DF=56DEDF = \tfrac56 DE。因为 FDBGFDBG 和 EDBCEDBC 高相同，FDBGFDBG 的面积是 EDBCEDBC 面积的 56\tfrac56，即 56⋅90=75\tfrac56 \cdot 90 = 75。

所以正确答案是 D。

Since DD and EE are midpoints, △ADE\triangle ADE has 14\tfrac14 the area of △ABC,\triangle ABC, namely 30,30, so trapezoid EDBCEDBC has area 120−30=90.120 - 30 = 90.

By the Angle Bisector Theorem, GG divides BCBC with BG=ABAB+AC⋅BC=56BC,BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC, and likewise FF divides DEDE so that DF=56DE.DF = \tfrac56 DE. Because FDBGFDBG and EDBCEDBC share the same height, the area of FDBGFDBG is 56\tfrac56 of the area of EDBC:EDBC: 56⋅90=75.\tfrac56 \cdot 90 = 75.

Thus, the correct answer is D.

第 17 题#17
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第 19 题#19

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