Question

点 $A$ 和 $B$ 在抛物线 $y = 4x^2 + 7x - 1$ 上，且原点是 $\overline{AB}$ 的中点。 $AB$ 的长度是多少？

Points $A$ and $B$ are on the parabola $y = 4x^2 + 7x - 1,$ and the origin is the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the length of $AB?$

$2\sqrt{5}$

$5 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$5 + \sqrt{2}$

$7$

$5\sqrt{2}$

答案：E

知识点：抛物线中点距离公式

难度评级：1740

小提示：

若 $B = (a, b)$ ，则 $A = (-a, -b)$ 。

If $B = (a, b),$ then $A = (-a, -b)$

大提示：

将两个点都代入抛物线方程，然后把方程相减。

Substitute both points into the parabola and subtract the equations

解答：

设 $B = (a, b)$ 、 $A = (-a, -b)$ 。则 $4a^2 + 7a - 1 = b$ ，且 $4a^2 - 7a - 1 = -b$ 。相减得 $14a = 2b$ ，所以 $b = 7a$ 。再由 $4a^2 + 7a - 1 = 7a$ 得 $a^2 = \dfrac14$ ，且 $b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}$ 。因此 $AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$ $= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}$ 。

因此正确答案是 E。

Let $B = (a, b)$ and $A = (-a, -b).$ Then $4a^2 + 7a - 1 = b$ and $4a^2 - 7a - 1 = -b.$ Subtracting gives $14a = 2b,$ so $b = 7a.$ Then $4a^2 + 7a - 1 = 7a$ gives $a^2 = \dfrac14,$ and $b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.$ So $AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$ $= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12B 第 18 题

答案：E

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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