Question

函数 $f$ 具有如下性质：对其定义域中的每个实数 $x$ ， $\frac{1}{x}$ 也在其定义域中，并且 $f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x\text{。}$ 那么 $f$ 的定义域中可能包含的最大实数集合是什么？

The function $f$ has the property that for each real number $x$ in its domain, $\frac{1}{x}$ is also in its domain and $f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.$ What is the largest set of real numbers that can be in the domain of $f?$

$\{x \mid x \neq 0\}$

$\{x \mid x \lt 0\}$

$\{x \mid x \gt 0\}$

$\{x \mid x \neq -1,\ x \neq 0,\ x \neq 1\}$

$\{-1, 1\}$

答案：E

知识点：函数方程换元法

难度评级：1890

小提示：

用 $\frac{1}{x}$ 代替 $x$ 得到第二个方程。

Substitute $\frac{1}{x}$ in place of $x$ to get a second equation

大提示：

比较两个方程会迫使 $x = \frac{1}{x}$ 。

Comparing the two equations forces $x = \frac{1}{x}$

解答：

用 $\frac{1}{x}$ 替换 $x$ 得 $f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}$ 。与 $f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x$ 合在一起，就要求 $x = \tfrac{1}{x}$ ，所以 $x = \pm 1$ 。

这两个值都一致，其中 $f(1) = \tfrac{1}{2}$ ， $f(-1) = -\tfrac{1}{2}$ 。因此最大可能定义域为 $\{-1, 1\}$ 。

因此，正确答案是 E。

Replacing $x$ by $\frac{1}{x}$ gives $f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.$ Together with $f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,$ this requires $x = \tfrac{1}{x},$ so $x = \pm 1.$

Both values are consistent, with $f(1) = \tfrac{1}{2}$ and $f(-1) = -\tfrac{1}{2}.$ So the largest possible domain is $\{-1, 1\}.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12A 第 18 题

答案：E

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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