函数 f 具有如下性质：对其定义域中的每个实数 x ， (1)/(x) 也在其定义域中，并且 f(x) + f ((1)/(x)) = x。那么 f 的定义域中可能包含的最大实数集合是什么？

(D) \x \mid x ≠ -1, x ≠ 0, x ≠ 1\

2006 AMC 12A 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

Joe 的快餐店里，三明治每个 $\$3$ ，汽水每杯 $\$2$ 。买 $5$ 个三明治和 $8$ 杯汽水一共要多少美元？

Sandwiches at Joe’s Fast Food cost $\$3$ each and sodas cost $\$2$ each. How many dollars will it cost to purchase $5$ sandwiches and $8$ sodas?

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

答案：A

知识点：钱币

难度评级：770

小提示：

将每种单价乘以对应数量。

Multiply each price by its quantity

大提示：

总价是 $5\cdot 3 + 8\cdot 2$ 。

The total is $5\cdot 3 + 8\cdot 2$

解答：

五个三明治花费 $5\cdot 3 = 15$ 美元，八杯汽水花费 $8\cdot 2 = 16$ 美元。一共花费 $15 + 16 = 31$ 美元。

因此，正确答案是 A。

Five sandwiches cost $5\cdot 3 = 15$ dollars and eight sodas cost $8\cdot 2 = 16$ dollars. Together they cost $15 + 16 = 31$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2.

定义 $x \otimes y = x^3 - y$ 。求 $h \otimes (h \otimes h)$ 。

Define $x \otimes y = x^3 - y.$ What is $h \otimes (h \otimes h)?$

$-h$

$0$

$h$

$2h$

$h^3$

答案：C

知识点：自定义运算换元法

难度评级：920

小提示：

先计算里面的 $h \otimes h$ 。

Evaluate the inner $h \otimes h$ first

大提示：

$h \otimes h = h^3 - h$ ，然后再应用一次 $\otimes$ 。

$h \otimes h = h^3 - h,$ then apply $\otimes$ once more

解答：

根据定义， $h \otimes h = h^3 - h$ 。因此 $\begin{gathered} h \otimes (h^3 - h) \\ = h^3 - (h^3 - h) \\ = h \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

By the definition, $h \otimes h = h^3 - h.$ Then $\begin{gathered} h \otimes (h^3 - h) \\ = h^3 - (h^3 - h) \\ = h. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

3.

Mary 的年龄与 Alice 的年龄之比是 $3 : 5$ 。Alice $30$ 岁。Mary 多少岁？

The ratio of Mary’s age to Alice’s age is $3 : 5.$ Alice is $30$ years old. How old is Mary?

$15$

$18$

$20$

$24$

$50$

答案：B

知识点：比与比例年龄问题

难度评级：800

小提示：

Mary 的年龄是 Alice 年龄的 $\tfrac{3}{5}$ 。

Mary’s age is $\tfrac{3}{5}$ of Alice’s age

大提示：

计算 $\tfrac{3}{5}\cdot 30$ 。

Compute $\tfrac{3}{5}\cdot 30$

解答：

Mary 的年龄是 Alice 年龄的 $\tfrac{3}{5}$ ，所以 Mary 是 $\tfrac{3}{5}\cdot 30 = 18$ 岁。

因此，正确答案是 B。

Mary’s age is $\tfrac{3}{5}$ of Alice’s, so Mary is $\tfrac{3}{5}\cdot 30 = 18$ years old.

Thus, the correct answer is B.

4.

一块电子表用 AM 和 PM 显示小时与分钟。显示中各数字之和最大可能是多少？

A digital watch displays hours and minutes with AM and PM. What is the largest possible sum of the digits in the display?

$17$

$19$

$21$

$22$

$23$

答案：E

知识点：数字时钟

难度评级：1050

小提示：

分别让分钟数字和小时数字尽可能大。

Maximize the minutes digits and the hour digits separately

大提示：

分钟的两个数字和最多为 $5+9$ ；最好的小时是单个数字 $9$ 。

The two minutes digits sum to at most $5+9;$ the best hour is the single digit $9$

解答：

分钟的两个数字和最多为 $5 + 9 = 14$ ，出现在 $59$ 分。小时方面，单个数字 $9$ 的数字和为 $9$ ，比任何两位数小时都大； $(10, 11, 12$ 的数字和最多只有 $1 + 2 = 3)$ 。

最大总和为 $14 + 9 = 23$ ，出现在 $9\!:\!59$ 。

因此，正确答案是 E。

The two minutes digits sum to at most $5 + 9 = 14,$ at $59$ minutes past the hour. For the hour, a single digit $9$ gives digit sum $9,$ which beats any two-digit hour $(10, 11, 12$ give at most $1 + 2 = 3).$

The largest total is $14 + 9 = 23,$ occurring at $9\!:\!59.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Doug 和 Dave 分一张有 $8$ 片等大披萨。Doug 想要原味披萨，但 Dave 想要半张披萨加凤尾鱼。原味披萨价格为 $\$8$ ，半张加凤尾鱼需要额外 $\$2$ 。Dave 吃了所有凤尾鱼披萨片和一片原味披萨。Doug 吃了剩下的部分。两人各自支付自己吃掉的部分。Dave 比 Doug 多付多少美元？

Doug and Dave shared a pizza with $8$ equally-sized slices. Doug wanted a plain pizza, but Dave wanted anchovies on half of the pizza. The cost of a plain pizza was $\$8,$ and there was an additional cost of $\$2$ for putting anchovies on one half. Dave ate all the slices of anchovy pizza and one plain slice. Doug ate the remainder. Each then paid for what he had eaten. How many more dollars did Dave pay than Doug?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：分数钱币

难度评级：1190

小提示：

原味披萨 $\$8$ 有 $8$ 片，所以每片原味披萨 $\$1$ 。

The plain pizza is $\$8$ for $8$ slices, so each plain slice costs $\$1$

大提示：

把 $\$2$ 的凤尾鱼附加费分摊到 $4$ 片凤尾鱼披萨上，再计算每个人的费用。

Spread the $\$2$ anchovy surcharge over the $4$ anchovy slices, then total each person’s cost

解答：

每片原味披萨花费 $\$1$ 。 $\$2$ 的凤尾鱼费用分摊到 $4$ 片凤尾鱼披萨上，每片多 $\$0.50$ ，所以每片凤尾鱼披萨花费 $\$1.50$ 。

Dave 吃了 $4$ 片凤尾鱼披萨和 $1$ 片原味披萨： $4\cdot 1.5 + 1 = \$7$ 。Doug 吃了剩下的 $3$ 片原味披萨： $\$3$ 。Dave 多付 $7 - 3 = \$4$ 。

因此，正确答案是 D。

Each plain slice costs $\$1.$ The $\$2$ anchovy charge is spread over the $4$ anchovy slices, adding $\$0.50$ each, so an anchovy slice costs $\$1.50.$

Dave ate $4$ anchovy slices and $1$ plain slice: $4\cdot 1.5 + 1 = \$7.$ Doug ate the $3$ remaining plain slices: $\$3.$ Dave paid $7 - 3 = \$4$ more.

Thus, the correct answer is D.

6.

如图， $8 \times 18$ 的矩形 $ABCD$ 被切成两个全等的六边形，使这两个六边形可以无重叠地重新拼成一个正方形。 $y$ 是多少？

The $8 \times 18$ rectangle $ABCD$ is cut into two congruent hexagons, as shown, in such a way that the two hexagons can be repositioned without overlap to form a square. What is $y?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：A

知识点：面积正方形（几何）

难度评级：1310

小提示：

两个六边形重新拼成面积为 $8\cdot 18$ 的正方形。

The two hexagons reassemble into a square of area $8\cdot 18$

大提示：

阶梯形切线把宽分成三个相等的水平部分，它们的和为 $18$ 。

The staircase splits the width into three equal horizontal pieces that sum to $18$

解答：

两个六边形组成一个面积为 $8 \cdot 18 = 144$ 的正方形，所以正方形边长为 $12$ 。

阶梯形切线把宽分成三个长度为 $y$ 的相等水平部分，它们合起来跨过整个宽度： $y + y + y = 18$ ，所以 $y = 6$ 。（两个竖直台阶各上升 $12 - 8 = 4$ ，形成正方形多出的高度。）

因此，正确答案是 A。

The two hexagons form a square of area $8 \cdot 18 = 144,$ so the square has side $12.$

The staircase cut splits the width into three equal horizontal pieces of length $y,$ which together span the full width: $y + y + y = 18,$ so $y = 6.$ (The two vertical steps each rise $12 - 8 = 4,$ building the extra height of the square.)

Thus, the correct answer is A.

7.

Mary 比 Sally 大 $20\%$ ，Sally 比 Danielle 小 $40\%$ 。她们年龄之和是 $23.2$ 岁。Mary 下一个生日时多少岁？

Mary is $20\%$ older than Sally, and Sally is $40\%$ younger than Danielle. The sum of their ages is $23.2$ years. How old will Mary be on her next birthday?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：B

知识点：百分数一次方程

难度评级：1240

小提示：

设 Danielle 的年龄为 $x$ ，再用 $x$ 表示 Sally 和 Mary 的年龄。

Let Danielle’s age be $x,$ then express Sally’s and Mary’s ages in terms of $x$

大提示：

Sally $= 0.6x$ ，Mary $= 1.2(0.6x) = 0.72x$ ；三人年龄和为 $23.2$ 。

Sally $= 0.6x$ and Mary $= 1.2(0.6x) = 0.72x;$ the ages sum to $23.2$

解答：

设 Danielle 为 $x$ 岁。那么 Sally 为 $0.6x$ ，Mary 为 $1.2(0.6x) = 0.72x$ 。

由 $x + 0.6x + 0.72x = 2.32x = 23.2$ ，得 $x = 10$ 。所以 Mary 现在 $0.72(10) = 7.2$ 岁，下一个生日时她将满 $8$ 岁。

因此，正确答案是 B。

Let Danielle be $x$ years old. Then Sally is $0.6x$ and Mary is $1.2(0.6x) = 0.72x.$

The sum $x + 0.6x + 0.72x = 2.32x = 23.2$ gives $x = 10.$ So Mary is $0.72(10) = 7.2$ years old, and on her next birthday she will be $8.$

Thus, the correct answer is B.

8.

有多少组两个或更多连续正整数的和为 $15$ ？

How many sets of two or more consecutive positive integers have a sum of $15?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：C

知识点：等差数列分类讨论

难度评级：1330

小提示：

一串 $n$ 个连续整数的和等于 $n$ 乘以它们的中间值。

A run of $n$ consecutive integers sums to $n$ times its middle value

大提示：

测试 $n = 2, 3, 4, 5$ ；超过 $5$ 项时，最小可能和已经超过 $15$ 。

Test $n = 2, 3, 4, 5;$ beyond $5$ the smallest possible sum already exceeds $15$

解答：

$n$ 个连续整数的和等于 $n$ 乘以它们的中位数。和为 $15$ ： $n = 2$ 给出 $7 + 8$ ， $n = 3$ 给出 $4 + 5 + 6$ ， $n = 5$ 给出 $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ 。

四个连续整数的和为偶数，而超过五项时已经超过 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 。所以共有 $3$ 组。

因此，正确答案是 C。

The sum of $n$ consecutive integers equals $n$ times their median. For a sum of $15:$ $n = 2$ gives $7 + 8,$ $n = 3$ gives $4 + 5 + 6,$ and $n = 5$ gives $1 + 2 + 3 + 4 + 5.$

A run of four consecutive integers sums to an even number, and more than five terms already exceed $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$ So there are $3$ sets.

Thus, the correct answer is C.

9.

Oscar 用 $\$1.00$ 买了 $13$ 支铅笔和 $3$ 块橡皮。一支铅笔比一块橡皮贵，且每件物品的价格都是整数美分。一支铅笔和一块橡皮的总价是多少美分？

Oscar buys $13$ pencils and $3$ erasers for $\$1.00.$ A pencil costs more than an eraser, and both items cost a whole number of cents. What is the total cost, in cents, of one pencil and one eraser?

$10$

$12$

$15$

$18$

$20$

答案：A

知识点：丢番图方程整除性

难度评级：1430

小提示：

分组为 $3$ 组“一支铅笔加一块橡皮”，再加 $10$ 支额外铅笔。

Group as $3$ sets of one pencil and one eraser, plus $10$ extra pencils

大提示：

若 $s$ 是一支铅笔和一块橡皮的总价，则 $3s + 10p = 100$ ，所以 $3s$ 是 $10$ 的倍数。

If $s$ is the cost of one pencil plus one eraser, then $3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$

解答：

设 $p$ 为一支铅笔的价格， $s$ 为一支铅笔加一块橡皮的总价，单位为美分。那么 $13p + 3e = 3s + 10p = 100\text{，}$ 所以 $3s$ 是 $10$ 的倍数且小于 $100$ 。因此 $s \in \{10, 20, 30\}$ ，对应的 $p = 7, 4, 1$ 。

因为铅笔比橡皮贵， $p \gt \tfrac{s}{2}$ ，只有 $s = 10$ 满足（铅笔 $7$ 美分，橡皮 $3$ 美分）。所以一支铅笔和一块橡皮共 $10$ 美分。

因此，正确答案是 A。

Let $p$ be a pencil’s cost and $s$ the cost of one pencil plus one eraser, in cents. Then $13p + 3e = 3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$ less than $100.$ Hence $s \in \{10, 20, 30\},$ with $p = 7, 4, 1$ respectively.

Since a pencil costs more than an eraser, $p \gt \tfrac{s}{2},$ which holds only for $s = 10$ (pencil $7,$ eraser $3$ ). So one pencil and one eraser cost $10$ cents.

Thus, the correct answer is A.

10.

有多少个实数 $x$ 使得 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 是整数？

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

答案：E

知识点：根式区间内整数计数

难度评级：1490

小提示：

令 $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k$ ，其中 $k$ 为非负整数。

Set $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k$ for a nonnegative integer $k$

大提示：

需要 $k^2 \le 120$ ，且每个有效的 $k$ 给出不同的 $x = (120 - k^2)^2$ 。

Need $k^2 \le 120,$ and each valid $k$ gives a distinct $x = (120 - k^2)^2$

解答：

令 $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 为整数。那么 $k \ge 0$ ，且 $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120$ ，所以 $0 \le k \le 10$ 。

每个这样的 $k$ 都给出 $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0$ ，因而给出不同的 $x = (120 - k^2)^2$ 。共有 $11$ 个值。

因此，正确答案是 E。

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ be an integer. Then $k \ge 0$ and $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,$ so $0 \le k \le 10.$

Each such $k$ gives $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,$ hence a distinct value $x = (120 - k^2)^2.$ That is $11$ values.

Thus, the correct answer is E.

11.

下列哪一项描述方程 $(x + y)^2 = x^2 + y^2$ 的图形？

Which of the following describes the graph of the equation $(x + y)^2 = x^2 + y^2?$

空集

the empty set

一个点

one point

两条直线

two lines

一个圆

a circle

整个平面

the entire plane

答案：C

知识点：代数变形因式分解

难度评级：1390

小提示：

展开 $(x + y)^2$ 并化简。

Expand $(x + y)^2$ and simplify

大提示：

方程化为 $2xy = 0$ 。

The equation reduces to $2xy = 0$

解答：

展开得 $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2$ ，所以 $2xy = 0$ ，即 $xy = 0$ 。

这是两条坐标轴的并集，也就是一对直线。

因此，正确答案是 C。

Expanding, $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2,$ so $2xy = 0,$ i.e. $xy = 0.$

This is the union of the two coordinate axes, a pair of lines.

Thus, the correct answer is C.

12.

若干个相扣的环，每个厚 $1$ cm，挂在一个钉子上。最上面的环外径为 $20$ cm。其余每个环的外径都比上方的环小 $1$ cm。最下面的环外径为 $3$ cm。从最上面环的顶部到最下面环的底部的距离是多少 cm？

A number of linked rings, each $1$ cm thick, are hanging on a peg. The top ring has an outside diameter of $20$ cm. The outside diameter of each of the other rings is $1$ cm less than that of the ring above it. The bottom ring has an outside diameter of $3$ cm. What is the distance, in cm, from the top of the top ring to the bottom of the bottom ring?

$171$

$173$

$182$

$188$

$210$

答案：B

知识点：等差数列求和

难度评级：1370

小提示：

最上面的环跨越 $20$ cm；每个下面的环增加其外径减 $2$ 的长度，因为有重叠。

The top ring spans $20$ cm; each lower ring adds its outside diameter minus $2$ for the overlap

大提示：

总长 $= 20 + (17 + 16 + \cdots + 1)$ 。

Total $= 20 + (17 + 16 + \cdots + 1)$

解答：

最上面的环跨越 $20$ cm。下面每个环与上方的环重叠 $2$ cm（两倍的 $1$ -cm 厚度），所以它增加的长度为外径减 $2$ 。

下面各环外径为 $19, 18, \ldots, 3$ ，贡献 $17, 16, \ldots, 1$ 。因此总距离为 $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173 \text{ cm} \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The top ring spans $20$ cm. Each ring below overlaps the ring above by $2$ cm (twice the $1$ -cm thickness), so it adds its outside diameter minus $2.$

The lower rings have outside diameters $19, 18, \ldots, 3,$ contributing $17, 16, \ldots, 1.$ Thus the total distance is $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173 \text{ cm}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

13.

如图，一个边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，其三个顶点是三个两两外切圆的圆心。这些圆的面积之和是多少？

The vertices of a $3$ – $4$ – $5$ right triangle are the centers of three mutually externally tangent circles, as shown. What is the sum of the areas of these circles?

$12\pi$

$\dfrac{25\pi}{2}$

$13\pi$

$\dfrac{27\pi}{2}$

$14\pi$

答案：E

知识点：相切圆方程组圆面积

难度评级：1330

小提示：

相邻两个顶点处圆的半径之和等于它们之间的边长。

The radii at two adjacent vertices sum to the side length between them

大提示：

解 $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5$ 。

Solve $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5$

解答：

若 $r, s, t$ 是三个顶点处圆的半径，则 $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5$ 。三式相加得 $r + s + t = 6$ ，所以 $r = 1,\ s = 2,\ t = 3$ 。

面积之和为 $\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi$ 。

因此，正确答案是 E。

If $r, s, t$ are the radii at the vertices, then $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.$ Adding all three gives $r + s + t = 6,$ so $r = 1,\ s = 2,\ t = 3.$

The sum of the areas is $\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.$

Thus, the correct answer is E.

14.

两位农民约定猪价值 $\$300$ ，山羊价值 $\$210$ 。当一位农民欠另一位钱时，他用猪或山羊偿债，并可根据需要以山羊或猪的形式找零。（例如，一笔 $\$390$ 的债可以用两头猪支付，并收到一只山羊作找零。）能用这种方式结清的最小正债务金额是多少？

Two farmers agree that pigs are worth $\$300$ and that goats are worth $\$210.$ When one farmer owes the other money, he pays the debt in pigs or goats, with “change” received in the form of goats or pigs as necessary. (For example, a $\$390$ debt could be paid with two pigs, with one goat received in change.) What is the amount of the smallest positive debt that can be resolved in this way?

$\$5$

$\$10$

$\$30$

$\$90$

$\$210$

答案：C

知识点：最大公约数丢番图方程

难度评级：1580

小提示：

可结清的债务形如 $300p + 210g$ ，其中 $p, g$ 为整数。

A resolvable debt has the form $300p + 210g$ for integers $p, g$

大提示：

每个这样的值都是 $\gcd(300, 210)$ 的倍数。

Every such value is a multiple of $\gcd(300, 210)$

解答：

债务 $D$ 能结清当且仅当 $D = 300p + 210g$ $= 30(10p + 7g)$ ，其中 $p, g$ 为整数。因此 $D$ 是 $\gcd(300, 210) = 30$ 的倍数，所以没有更小的正债务可行。

$\$30$ 的债务可以做到，因为 $30 = 300(-2) + 210(3)$ ，即给出 $3$ 只山羊并收到 $2$ 头猪作为找零。

因此，正确答案是 C。

A debt $D$ is resolvable if and only if $D = 300p + 210g$ $= 30(10p + 7g)$ for integers $p, g.$ Thus $D$ is a multiple of $\gcd(300, 210) = 30,$ so no smaller positive debt works.

A debt of $\$30$ is achievable since $30 = 300(-2) + 210(3),$ i.e. give $3$ goats and receive $2$ pigs in change.

Thus, the correct answer is C.

15.

已知 $\cos x = 0$ 且 $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ 。 $z$ 的最小正值是多少？

Suppose $\cos x = 0$ and $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}.$ What is the smallest possible positive value of $z?$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\dfrac{7\pi}{6}$

答案：A

知识点：三角学

难度评级：1590

小提示：

$\cos x = 0$ 表示 $x$ 是 $\tfrac{\pi}{2}$ 的奇数倍。

$\cos x = 0$ means $x$ is an odd multiple of $\tfrac{\pi}{2}$

大提示：

$\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ 表示 $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}$ ；最小化 $z = (x+z) - x$ 。

$\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ means $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3};$ minimize $z = (x+z) - x$

解答：

因为 $\cos x = 0$ ，所以 $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ 。又因为 $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2}$ ，所以 $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}$ 。

在单位圆上， $\tfrac{\pi}{2}$ 的奇数倍与同余于 $\pm\tfrac{\pi}{3}$ 的角之间，最小正角距离为 $\tfrac{\pi}{6}$ 。取 $x = -\tfrac{\pi}{2}$ 和 $x + z = -\tfrac{\pi}{3}$ ，可达到此值，此时 $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6}$ 。

所以正确答案是 A。

Since $\cos x = 0,$ we have $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.$ Since $\cos(x + z) = \tfrac{1}{2},$ we have $x + z = 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{3}.$

On the unit circle, the smallest positive angular separation between an odd multiple of $\tfrac{\pi}{2}$ and an angle congruent to $\pm\tfrac{\pi}{3}$ is $\tfrac{\pi}{6}.$ It is attained by taking $x = -\tfrac{\pi}{2}$ and $x + z = -\tfrac{\pi}{3},$ which gives $z = -\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{6}.$

Thus, the correct answer is A.

16.

圆心为 $A$ 和 $B$ 的两个圆半径分别为 $3$ 和 $8$ ，一条公共内切线分别与两个圆交于 $C$ 和 $D$ ，直线 $AB$ 与 $CD$ 交于 $E$ ，且 $AE = 5$ 。 $CD$ 是多少？

Circles with centers $A$ and $B$ have radii $3$ and $8,$ respectively. A common internal tangent intersects the circles at $C$ and $D,$ respectively. Lines $AB$ and $CD$ intersect at $E,$ and $AE = 5.$ What is $CD?$

$13$

$\dfrac{44}{3}$

$\sqrt{221}$

$\sqrt{255}$

$\dfrac{55}{3}$

答案：B

知识点：相似切线勾股定理

难度评级：1760

小提示：

半径 $AC$ 和 $BD$ 都垂直于切线，所以 $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ 。

Radii $AC$ and $BD$ are perpendicular to the tangent, so $\triangle ACE \sim \triangle BDE$

大提示：

$CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4$ ，且 $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}$ 。

$CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4,$ and $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}$

解答：

半径满足 $AC \perp CD$ 和 $BD \perp CD$ 。由勾股定理， $CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ 。

因为 $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ ，得 $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3}$ ，所以 $DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}$ 。因此 $\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3} \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The radii satisfy $AC \perp CD$ and $BD \perp CD.$ By the Pythagorean theorem, $CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$

Since $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ we get $\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},$ so $DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.$ Then $\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

17.

正方形 $ABCD$ 的边长为 $s$ ，以 $E$ 为圆心的圆半径为 $r$ ，且 $r$ 与 $s$ 都是有理数。该圆经过 $D$ ，且 $D$ 在 $\overline{BE}$ 上。点 $F$ 在圆上，并且与 $A$ 在 $\overline{BE}$ 的同侧。线段 $AF$ 与圆相切，且 $AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}$ 。 $\frac{r}{s}$ 是多少？

Square $ABCD$ has side length $s,$ a circle centered at $E$ has radius $r,$ and $r$ and $s$ are both rational. The circle passes through $D,$ and $D$ lies on $\overline{BE}.$ Point $F$ lies on the circle, on the same side of $\overline{BE}$ as $A.$ Segment $AF$ is tangent to the circle, and $AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}.$ What is $\frac{r}{s}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{9}{5}$

答案：B

知识点：圆幂切线坐标几何

难度评级：1910

小提示：

切线长度满足 $AF^2 = AE^2 - r^2$ 。

The tangent length satisfies $AF^2 = AE^2 - r^2$

大提示：

将 $B$ 放在原点；则 $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}$ ，再比较有理部分和无理部分。

Place $B$ at the origin; then $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2},$ and match rational and irrational parts

解答：

设 $B = (0, 0)$ ， $C = (s, 0)$ ， $A = (0, s)$ ， $D = (s, s)$ ，因此 $E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ 在射线 $BD$ 上。

因为 $AF$ 是圆的切线， $AF^2 = AE^2 - r^2$ 。计算 $AE^2$ 并化简，得到 $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}$ 。

因为 $r$ 和 $s$ 都是有理数，有理部分和无理部分分别相等： $s^2 = 9$ ， $rs = 5$ 。因此 $s = 3,\ r = \tfrac{5}{3}$ ，所以 $\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}$ 。

因此，正确答案是 B。

Set $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s),$ so that $E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ lies on ray $BD.$

Since $AF$ is tangent to the circle, $AF^2 = AE^2 - r^2.$ Computing $AE^2$ and simplifying gives $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}.$

Because $r$ and $s$ are rational, the rational and irrational parts match: $s^2 = 9$ and $rs = 5.$ Thus $s = 3,\ r = \tfrac{5}{3},$ and $\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

函数 $f$ 具有如下性质：对其定义域中的每个实数 $x$ ， $\frac{1}{x}$ 也在其定义域中，并且 $f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x\text{。}$ 那么 $f$ 的定义域中可能包含的最大实数集合是什么？

The function $f$ has the property that for each real number $x$ in its domain, $\frac{1}{x}$ is also in its domain and $f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.$ What is the largest set of real numbers that can be in the domain of $f?$

$\{x \mid x \neq 0\}$

$\{x \mid x \lt 0\}$

$\{x \mid x \gt 0\}$

$\{x \mid x \neq -1,\ x \neq 0,\ x \neq 1\}$

$\{-1, 1\}$

答案：E

知识点：函数方程换元法

难度评级：1890

小提示：

用 $\frac{1}{x}$ 代替 $x$ 得到第二个方程。

Substitute $\frac{1}{x}$ in place of $x$ to get a second equation

大提示：

比较两个方程会迫使 $x = \frac{1}{x}$ 。

Comparing the two equations forces $x = \frac{1}{x}$

解答：

用 $\frac{1}{x}$ 替换 $x$ 得 $f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}$ 。与 $f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x$ 合在一起，就要求 $x = \tfrac{1}{x}$ ，所以 $x = \pm 1$ 。

这两个值都一致，其中 $f(1) = \tfrac{1}{2}$ ， $f(-1) = -\tfrac{1}{2}$ 。因此最大可能定义域为 $\{-1, 1\}$ 。

因此，正确答案是 E。

Replacing $x$ by $\frac{1}{x}$ gives $f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.$ Together with $f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,$ this requires $x = \tfrac{1}{x},$ so $x = \pm 1.$

Both values are consistent, with $f(1) = \tfrac{1}{2}$ and $f(-1) = -\tfrac{1}{2}.$ So the largest possible domain is $\{-1, 1\}.$

Thus, the correct answer is E.

19.

圆心为 $(2, 4)$ 和 $(14, 9)$ 的两个圆半径分别为 $4$ 和 $9$ ，两圆的一条公共外切线方程可写为 $y = mx + b$ ，其中 $m \gt 0$ 。 $b$ 是多少？

Circles with centers $(2, 4)$ and $(14, 9)$ have radii $4$ and $9,$ respectively. The equation of a common external tangent to the circles can be written in the form $y = mx + b$ with $m \gt 0.$ What is $b?$

$\dfrac{908}{119}$

$\dfrac{909}{119}$

$\dfrac{130}{17}$

$\dfrac{911}{119}$

$\dfrac{912}{119}$

答案：E

知识点：切线三角恒等式坐标几何

难度评级：1960

小提示：

每个圆都与 $x$ -轴相切，所以 $x$ -轴是一条公共外切线。

Each circle is tangent to the $x$ -axis, so the $x$ -axis is one common external tangent

大提示：

两条外切线交于圆心连线所在直线，其斜率为 $\tfrac{5}{12} = \tan\theta$ ；另一条切线斜率为 $\tan 2\theta$ 。

The two external tangents meet on the line through the centers, whose slope is $\tfrac{5}{12} = \tan\theta;$ the other tangent has slope $\tan 2\theta$

解答：

每个圆的半径等于其圆心的 $y$ -坐标，所以两圆都与 $x$ -轴相切，这条直线就是一条公共外切线。两条外切线交于圆心连线与 $x$ -轴的交点。

该直线斜率为 $\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta$ ，且过 $(2, 4)$ ，与 $x$ -轴交于 $\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right)$ 。

另一条切线与 $x$ -轴所成的角为 $2\theta$ ，所以其斜率为 $\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}\text{。}$ 因此 $b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}$ 。

因此，正确答案是 E。

Each circle’s radius equals its center’s $y$ -coordinate, so both are tangent to the $x$ -axis, which is a common external tangent. The two external tangents meet at the $x$ -intercept of the line through the centers.

That line has slope $\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta$ and passes through $(2, 4),$ meeting the $x$ -axis at $\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).$

The other tangent makes angle $2\theta$ with the $x$ -axis, so its slope is $\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.$ Then $b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.$

Thus, the correct answer is E.

20.

一只虫子从立方体的一个顶点出发，并按如下规则沿立方体的棱移动。在每个顶点，这只虫子会从该顶点发出的三条棱中选择一条前进。每条棱被选中的概率相等，且所有选择相互独立。七次移动后，这只虫子恰好访问每个顶点一次的概率是多少？

A bug starts at one vertex of a cube and moves along the edges of the cube according to the following rule. At each vertex the bug will choose to travel along one of the three edges emanating from that vertex. Each edge has equal probability of being chosen, and all choices are independent. What is the probability that after seven moves the bug will have visited every vertex exactly once?

$\dfrac{1}{2187}$

$\dfrac{1}{729}$

$\dfrac{2}{243}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{5}{243}$

答案：C

知识点：基本概率图论分类讨论

难度评级：2070

小提示：

共有 $3^7$ 条等可能的 $7$ -步路径；数出访问全部 $8$ 个顶点的路径。

There are $3^7$ equally likely $7$ -move walks; count those visiting all $8$ vertices

大提示：

第一步有 $3$ 种选择，第二步有 $2$ 种选择，之后路径几乎被确定。

There are $3$ choices for the first move and $2$ for the second, after which the path is nearly forced

解答：

从起点出发共有 $3^7$ 条等可能的 $7$ -步路径。考虑一条访问全部 $8$ 个顶点的路径：第一步有 $3$ 种选择，第二步有 $2$ 种选择。

用三位二进制串给立方体的顶点编号。由对称性，固定前两步之后，可设前三个顶点依次为 $000,001,011$ 。逐个分支检验可知，恰好只有以下三种走完全程的方式： $\begin{aligned} &010,110,111,101,100,\\ &010,110,100,101,111,\\ &111,101,100,110,010 \end{aligned}\text{。}$ 因此这样的路径共有 $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ 条。

概率为 $\dfrac{18}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243}$ 。

因此，正确答案是 C。

From the start there are $3^7$ equally likely $7$ -move walks. For a walk visiting all $8$ vertices, there are $3$ choices for the first move and $2$ for the second, since it cannot return to the starting vertex.

Label cube vertices by three-bit strings. By symmetry, after fixing those first two moves we may take the first three vertices to be $000,001,011.$ A branch check gives exactly these three completions: $\begin{aligned} &010,110,111,101,100,\\ &010,110,100,101,111,\\ &111,101,100,110,010. \end{aligned}$ Thus there are $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ such walks.

The probability is $\dfrac{18}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243}.$

Thus, the correct answer is C.

21.

设

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

并且

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}\text{。}$

$S_2$ 的面积与 $S_1$ 的面积之比是多少？

Let

$\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}$

and

$\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.$

What is the ratio of the area of $S_2$ to the area of $S_1?$

$98$

$99$

$100$

$101$

$102$

答案：E

知识点：对数配方法圆面积

难度评级：2180

小提示：

对 $j = 1, 2$ 将条件改写为 $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$ 。

For $j = 1, 2,$ rewrite the condition as $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$

大提示：

配方得到圆盘，然后比较它们的半径平方。

Complete the square to get disks, then compare their squared radii

解答：

对 $j = 1, 2$ ，条件变为 $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)$ ，即 $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j \end{gathered}\text{。}$

这是两个圆盘， $S_1$ 的半径平方为 $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ ， $S_2$ 的半径平方为 $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ 。

对数要求 $x+y>0$ 。对每个圆盘，其圆心到直线 $x+y=0$ 的距离平方为 $\tfrac{10^{2j}}{2}$ ，比半径平方恰好多 $j$ 。所以两个圆盘都完全位于 $x+y>0$ 内，改写不等式时没有加入额外点。面积之比为 $\dfrac{4998}{49} = 102$ 。

所以正确答案是 E。

For $j = 1, 2,$ the condition becomes $j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),$ i.e. $\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}$

These are disks with squared radii $\tfrac{100}{2} - 1 = 49$ for $S_1$ and $\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998$ for $S_2.$

The logarithms require $x+y>0.$ For each disk, the squared distance from its center to the line $x+y=0$ is $\tfrac{10^{2j}}{2},$ which is $j$ more than the squared radius. Hence both disks lie entirely in $x+y>0,$ so no points were added when the inequalities were rewritten. The area ratio is $\dfrac{4998}{49} = 102.$

Thus, the correct answer is E.

22.

一个半径为 $r$ 的圆与边长为 $2$ 的正六边形同心，并且在正六边形外。若从圆上随机选一点，能看到正六边形的三个完整边的概率为 $\frac{1}{2}$ 。 $r$ 是多少？

A circle of radius $r$ is concentric with and outside a regular hexagon of side length $2.$ The probability that three entire sides of the hexagon are visible from a randomly chosen point on the circle is $\frac{1}{2}.$ What is $r?$

$2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3} + \sqrt{2}$

$2\sqrt{6} + \sqrt{3}$

$3\sqrt{2} + \sqrt{6}$

$6\sqrt{2} - \sqrt{3}$

答案：D

知识点：几何概率正多边形三角学

难度评级：2340

小提示：

只能看到两条完整边的那些互补圆弧合起来占半个圆；由对称性，每段这样的圆弧都是 $30^\circ$ 。

The complementary arcs, from which only two whole sides are visible, total half the circle; by symmetry each measures $30^\circ$

大提示：

中心到一条边的距离（边心距）是 $\sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ$ 。

The distance from the center to a side (the apothem) is $\sqrt{3},$ and $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ$

解答：

把正六边形放在圆的中心。每个顶点都对应一段圆弧，从该弧上只能完整看到在此顶点相交的两条边。这六段全等圆弧组成补事件，其概率为 $\tfrac{1}{2}$ ，所以每段弧的度数为 $30^\circ$ 。

取以圆心 $O$ 到顶点 $A$ 的射线为中心的那段弧，并设 $P$ 为它的上端点。则 $\angle POA = 15^\circ$ ，而在 $P$ 处第三条边刚好开始可见，所以 $P$ 位于该边所在的直线上。这条直线到 $O$ 的距离为边心距 $\sqrt{3}$ 。

因此 $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ = r \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ，所以 $r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Place the hexagon at the center of the circle. Corresponding to each vertex is an arc from which only the two sides meeting there are entirely visible. These six congruent arcs make up the complementary probability $\tfrac{1}{2},$ so each arc measures $30^\circ.$

Take the arc centered on the ray from the center $O$ through a vertex $A,$ and let $P$ be its upper endpoint. Then $\angle POA = 15^\circ,$ and at $P$ a third side is just becoming visible, so $P$ lies on that side’s supporting line. Its distance from $O$ is the apothem $\sqrt{3}.$

Hence $\sqrt{3} = r\sin 15^\circ = r \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},$ giving $r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

给定一个由 $n$ 个实数组成的有限序列 $S = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ ，令 $A(S)$ 为由 $n - 1$ 个实数组成的序列 $\small \left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \ldots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}\right)$ 定义 $A^1(S) = A(S)$ ，并且对每个满足 $2 \le m \le n - 1$ 的整数 $m$ ，定义 $A^m(S) = A(A^{m-1}(S))$ 。已知 $x \gt 0$ ，且令 $S = (1, x, x^2, \ldots, x^{100})$ 。若 $A^{100}(S) = (\frac{1}{2^{50}})$ ，那么 $x$ 是多少？

Given a finite sequence $S = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ of $n$ real numbers, let $A(S)$ be the sequence $\small \left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \ldots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}\right)$ of $n - 1$ real numbers. Define $A^1(S) = A(S)$ and, for each integer $m,$ $2 \le m \le n - 1,$ define $A^m(S) = A(A^{m-1}(S)).$ Suppose $x \gt 0,$ and let $S = (1, x, x^2, \ldots, x^{100}).$ If $A^{100}(S) = (\frac{1}{2^{50}}),$ then what is $x?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

答案：B

知识点：二项式定理递推

难度评级：2400

小提示：

重复应用 $A$ 会引入二项式系数； $A^{100}(S)$ 只剩一个项。

Applying $A$ repeatedly introduces binomial coefficients; $A^{100}(S)$ has a single term

大提示：

该项为 $\dfrac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}$ 。

That term is $\dfrac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}$

解答：

每次应用 $A$ 都是在平均相邻项，所以 $100$ 步后剩下的唯一一项为 $\begin{gathered} \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=0}^{100} \binom{100}{m} x^m \\ = \frac{(1 + x)^{100}}{2^{100}} \end{gathered}\text{。}$

将其设为 $\dfrac{1}{2^{50}}$ ，得 $(1 + x)^{100} = 2^{50}$ ，所以 $1 + x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ 。因为 $x \gt 0$ ，得 $x = \sqrt{2} - 1$ 。

因此，正确答案是 B。

Each application of $A$ averages adjacent terms, so after $100$ steps the single remaining term is $\begin{gathered} \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=0}^{100} \binom{100}{m} x^m \\ = \frac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}. \end{gathered}$

Setting this equal to $\dfrac{1}{2^{50}}$ gives $(1 + x)^{100} = 2^{50},$ so $1 + x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.$ Since $x \gt 0,$ we get $x = \sqrt{2} - 1.$

Thus, the correct answer is B.

24.

表达式

$(x + y + z)^{2006} + (x - y - z)^{2006}$

展开并合并同类项后，化简后的表达式中有多少项？

The expression

$(x + y + z)^{2006} + (x - y - z)^{2006}$

is simplified by expanding it and combining like terms. How many terms are in the simplified expression?

$6018$

$671{,}676$

$1{,}007{,}514$

$1{,}008{,}016$

$2{,}015{,}028$

答案：D

知识点：二项式定理奇偶性基本计数

难度评级：2340

小提示：

单项式 $x^a y^b z^c$ 只有在 $a$ 为偶数时保留；奇数 $a$ 的项会抵消。

A monomial $x^a y^b z^c$ survives only when $a$ is even; the odd- $a$ terms cancel

大提示：

对从 $0$ 到 $2006$ 的每个偶数 $a$ 数出 $b$ 的可能取值。

For each even $a$ from $0$ to $2006,$ count the possible values of $b$

解答：

单项式 $x^a y^b z^c$ 只有在 $a$ 为偶数时保留，因为 $a$ 为奇数的项会在两个展开式之间抵消。

对每个满足 $0 \le a \le 2006$ 的偶数 $a$ ，指数 $b$ 有 $2007 - a$ 个取值，而 $c = 2006 - a - b$ 随后确定。对所有偶数 $a$ 求和： $\begin{gathered} (2007 - 0) + (2007 - 2) \\ {}+ \cdots + (2007 - 2006) \\ = 2007 + 2005 + \cdots + 1\text{，} \end{gathered}$ 这是前 $1004$ 个正奇数之和，等于 $1004^2 = 1{,}008{,}016$ 。

因此，正确答案是 D。

A term $x^a y^b z^c$ survives only when $a$ is even, since terms with odd $a$ cancel between the two expansions.

For each even $a$ with $0 \le a \le 2006,$ the exponent $b$ ranges over $2007 - a$ values and $c = 2006 - a - b$ is then determined. Summing over even $a:$ $\begin{gathered} (2007 - 0) + (2007 - 2) \\ {}+ \cdots + (2007 - 2006) \\ = 2007 + 2005 + \cdots + 1, \end{gathered}$ the sum of the first $1004$ odd positive integers, which is $1004^2 = 1{,}008{,}016.$

Thus, the correct answer is D.

25.

$\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ 有多少个非空子集 $S$ 满足以下两个性质？

$(1)$ $S$ 中没有两个连续整数。

$(2)$ 若 $S$ 含有 $k$ 个元素，则 $S$ 不含任何小于 $k$ 的数。

How many non-empty subsets $S$ of $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ have the following two properties?

$(1)$ No two consecutive integers belong to $S.$

$(2)$ If $S$ contains $k$ elements, then $S$ contains no number less than $k.$

$277$

$311$

$376$

$377$

$405$

答案：E

知识点：子集双射组合

难度评级：2550

小提示：

一个有效的 $k$ -元素集合是 $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ 中的一个 $k$ -子集，且没有两个连续元素。

A $k$ -element valid set is a $k$ -subset of $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ with no two consecutive

大提示：

这样的集合与一个 $(17 - 2k)$ -元素集合的 $k$ -子集一一对应，数量为 $\binom{17 - 2k}{k}$ 。

Such sets biject with $k$ -subsets of a $(17 - 2k)$ -element set, counted by $\binom{17 - 2k}{k}$

解答：

由性质 $(2)$ ，一个有效的 $k$ -元素集合是 $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ 的一个 $k$ -子集，且没有两个连续元素。

将被选元素之间的间隔压缩后，这些集合与一个 $(17 - 2k)$ -元素集合的 $k$ -子集一一对应，数量为 $\binom{17 - 2k}{k}$ 。只有 $k \le 5$ 时该数非零，所以总数为 $\begin{gathered} \binom{15}{1} + \binom{13}{2} \\ {}+ \binom{11}{3} + \binom{9}{4} \\ {}+ \binom{7}{5} \\ = 15 + 78 + 165 + 126 + 21 \\ = 405 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

By property $(2),$ a valid $k$ -element set is a $k$ -subset of $\{k, k+1, \ldots, 15\}$ with no two consecutive elements.

Collapsing the gaps between chosen elements, these correspond bijectively to $k$ -subsets of a $(17 - 2k)$ -element set, counted by $\binom{17 - 2k}{k}.$ This is nonzero only for $k \le 5,$ so the total is $\begin{gathered} \binom{15}{1} + \binom{13}{2} \\ {}+ \binom{11}{3} + \binom{9}{4} \\ {}+ \binom{7}{5} \\ = 15 + 78 + 165 + 126 + 21 \\ = 405. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.