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1980 AMC 12 第 18 题

先试着解答 1980 AMC 12 第 18 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1980 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

若 b>1b\gt1、sin⁡x>0\sin x\gt0、cos⁡x>0\cos x\gt0，且 log⁡bsin⁡x=a\log_b\sin x=a，则 log⁡bcos⁡x\log_b\cos x 等于

If b>1,b\gt1, sin⁡x>0,\sin x\gt0, cos⁡x>0\cos x\gt0 and log⁡bsin⁡x=a,\log_b\sin x=a, then log⁡bcos⁡x\log_b\cos x equals

2log⁡b(1−ba2)2\log_b(1-b^{\frac{a}{2}})

1−a2\sqrt{1-a^2}

ba2b^{a^2}

12log⁡b(1−b2a)\frac12\log_b(1-b^{2a})

以上都不是

none of these

答案：D
知识点：对数三角恒等式根式
难度评级：1590
小提示：

把 log⁡bsin⁡x=a\log_b\sin x=a 改写为指数方程

Convert log⁡bsin⁡x=a\log_b\sin x=a into an exponential equation

大提示：

利用 cos⁡x=1−sin⁡2x\cos x=\sqrt{1-\sin^2x} 以及 cos⁡x\cos x 为正

Use cos⁡x=1−sin⁡2x\cos x=\sqrt{1-\sin^2x} and the positivity of cos⁡x\cos x

解答：

由 sin⁡x=ba\sin x=b^a 可得 cos⁡x=1−b2a。 \cos x=\sqrt{1-b^{2a}}\text{。}因此 log⁡bcos⁡x=12log⁡b(1−b2a)。 \log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a})\text{。}

因此，正确答案是 D。

We have sin⁡x=ba,\sin x=b^a, so cos⁡x=1−b2a. \cos x=\sqrt{1-b^{2a}}. Therefore log⁡bcos⁡x=12log⁡b(1−b2a). \log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).

Therefore, the correct answer is D.

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