Question

设 $n$ 是一个 $5$ 位数， $q$ 和 $r$ 分别是 $n$ 除以 $100$ 的商和余数。有多少个 $n$ 使 $q + r$ 能被 $11$ 整除？

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

答案：B

知识点：模运算倍数

难度评级：1800

小提示：

$n=100q+r=(q+r)+99q$ 。

$n=100q+r=(q+r)+99q$

大提示：

因为 $99$ 是 $11$ 的倍数， $q+r\equiv n\pmod{11}$ 。

Since $99$ is a multiple of $11,$ $q+r\equiv n\pmod{11}$

解答：

$n=100q+r=(q+r)+99q$ ，且 $99$ 能被 $11$ 整除，所以 $q+r\equiv n\pmod{11}$ 。

因此 $(q+r)$ 是 $11$ 的倍数，当且仅当 $n$ 是 $11$ 的倍数。

在 $5$ 位数中， $11$ 的倍数个数为 $\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor$ $=9090-909=8181$ 。

所以正确答案是 B。

Since $n=100q+r=(q+r)+99q$ and $99$ is divisible by $11,$ we have $q+r\equiv n\pmod{11}.$

So $(q+r)$ is a multiple of $11$ exactly when $n$ is a multiple of $11.$

Among the $5$ -digit numbers, the count of multiples of $11$ is $\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor$ $=9090-909=8181.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A 第 18 题

答案：B

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题