Question

Fibonacci 数定义为 $F_1 = 1$ 、 $F_2 = 1$ ，且对 $n \ge 3$ ，有 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ 。求

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}\text{？}$

The Fibonacci numbers are defined by $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ and $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ for $n \ge 3.$ What is

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

$318$

$319$

$320$

$321$

$322$

答案：B

知识点：斐波那契数列求和

难度评级：1930

小提示：

每项都可化简： $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ 是整数；先算几项，如 $\dfrac{F_2}{F_1} = 1$ 、 $\dfrac{F_4}{F_2} = 3$ 、 $\dfrac{F_6}{F_3} = 4$ 。

Each term simplifies: $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ is an integer; compute the first few, such as $\dfrac{F_2}{F_1} = 1,$ $\dfrac{F_4}{F_2} = 3,$ $\dfrac{F_6}{F_3} = 4$

大提示：

这些值是 Lucas 数 $L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ ；求 $L_1$ 到 $L_{10}$ 的和。

These values are the Lucas numbers $L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots;$ sum $L_1$ through $L_{10}$

解答：

因为 $F_{2k} = F_k L_k$ ，其中 $L_k$ 为第 $k$ 个 Lucas 数，所以 $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k$ 。所求和为 $\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319\text{。} \end{gathered}$ 等价地， $L_1 + \cdots + L_{10}$ $= L_{12} - 3$ $= 322 - 3 = 319$ 。

所以正确答案是 B。

Since $F_{2k} = F_k L_k$ where $L_k$ is the $k$ th Lucas number, each term $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k.$ The sum is $\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319. \end{gathered}$ (Equivalently, $L_1 + \cdots + L_{10}$ $= L_{12} - 3$ $= 322 - 3 = 319.$ )

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 18 题

答案：B

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题