Question

要把数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 排成一圈。如果不能对从 $1$ 到 $15$ 的每个 $n$ ，都找到圆上连续的一段数字，使其和为 $n$ ，则称这个排列为坏排列。只相差旋转或翻折的排列视为相同。有多少种不同的坏排列？

The numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every $n$ from $1$ to $15$ one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to $n.$ Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：环形排列补集计数分类讨论

难度评级：2150

小提示：

和 $1$ 到 $5$ 总能用单个数字得到。

Sums $1$ through $5$ are always achievable with a single number

大提示：

如果一个连续段的和为 $n$ ，它的补集和为 $15-n$ ，所以只有 $6$ 和 $7$ 可能失败。

If a consecutive block sums to $n,$ its complement sums to $15-n,$ so only $6$ and $7$ can fail

解答：

任意单个数字都能得到 $1$ 到 $5$ 的和。如果某个连续段的和为 $n$ ，剩余数字也组成一个连续段，其和为 $15 - n$ ，所以从 $10$ 到 $14$ 的和也自动可以得到。因此，一个排列是坏排列，只可能是因为不能得到 $6$ 或 $7$ 。

如果不能得到 $6$ ，通过旋转和翻折可设顺序为 $1bc5e$ 。数对 $\{b,c\}$ 不能是 $\{2,3\}$ 或 $\{2,4\}$ ，所以 $e=2$ ；再避开连续段 $213$ ，就迫使排列为 $14352$ 。如果不能得到 $7$ ，将顺序写成 $2bc5e$ 。此时 $\{b,c\}$ 不能是 $\{3,4\}$ 或 $\{1,4\}$ ，所以 $e=4$ ，避开 $421$ 就迫使排列为 $23154$ 。

在旋转和翻折意义下，只有这两个坏排列。

因此，正确答案是 B。

Any single number covers sums $1$ through $5.$ If a consecutive block sums to $n,$ the remaining numbers form a consecutive block summing to $15 - n,$ so sums $10$ through $14$ are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce $6$ or $7.$

If $6$ cannot be formed, rotate and reflect so the order is $1bc5e.$ The pair $\{b,c\}$ cannot be $\{2,3\}$ or $\{2,4\},$ so $e=2;$ avoiding the block $213$ then forces $14352.$ If $7$ cannot be formed, write the order as $2bc5e.$ Now $\{b,c\}$ cannot be $\{3,4\}$ or $\{1,4\},$ so $e=4,$ and avoiding $421$ forces $23154.$

These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B 第 18 题

答案：B

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题