Question

设 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数字之和。例如， $S(1507)=13$ 。对某个正整数 $n$ ，有 $S(n)=1274$ 。下列哪一个可能是 $S(n+1)$ 的值？

Let $S(n)$ equal the sum of the digits of positive integer $n.$ For example, $S(1507)=13.$ For a particular positive integer $n,$ $S(n)=1274.$ Which of the following could be the value of $S(n+1)?$

$1$

$3$

$12$

$1239$

$1265$

答案：D

知识点：数字模运算

难度评级：1990

小提示：

如果 $n$ 恰好以 $k$ 个九结尾，加 $1$ 会使数字和减少 $9k$ ，再增加 $1$ 。

If $n$ ends in exactly $k$ nines, adding $1$ drops the digit sum by $9k$ and adds $1$

大提示：

所以 $S(n+1)=1275-9k$ ；检查哪个选项有这种形式

So $S(n+1)=1275-9k;$ check which choice has this form

解答：

给 $n$ 加 $1$ 通常会使数字和增加 $1$ ，但末尾的每个 $9$ 都会变成 $0$ ，使数字和减少 $9$ 。如果 $n$ 恰好以 $k$ 个九结尾，则 $S(n+1)=S(n)+1-9k$ $=1275-9k$ 。

因此可能值为 $1275,1266,1257,\ldots$ 在选项中，只有 $1239=1275-9\cdot4$ 符合（例如， $n$ 可以以四个 $9$ 结尾，前面有足够多的 $1$ ）。

所以正确答案是 D。

Adding $1$ to $n$ increases the digit sum by $1,$ except that each trailing $9$ turns into a $0,$ losing $9.$ If $n$ ends in exactly $k$ nines, then $S(n+1)=S(n)+1-9k$ $=1275-9k.$

So the possible values are $1275,1266,1257,\ldots$ Among the choices, only $1239=1275-9\cdot4$ fits (for example, $n$ ending in four $9$ s preceded by enough $1$ s).

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题