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2020 AMC 12A 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

四边形 ABCDABCD 满足 ∠ABC=∠ACD=90∘\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ，AC=20AC = 20，且 CD=30CD = 30。对角线 ACAC 与 BDBD 交于点 EE，且 AE=5AE = 5。四边形 ABCDABCD 的面积是多少？

Quadrilateral ABCDABCD satisfies ∠ABC=∠ACD=90∘,\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AC=20,AC = 20, and CD=30.CD = 30. Diagonals ACAC and BDBD intersect at point E,E, and AE=5.AE = 5. What is the area of quadrilateral ABCD?ABCD?

330330

340340

350350

360360

370370

答案：D
知识点：坐标几何圆面积分割
难度评级：1800
小提示：

设 A=(0,0)A = (0,0)，C=(20,0)C = (20, 0)，且 D=(20,30)D = (20, 30)，则 E=(5,0)E = (5, 0)

Place A=(0,0),A = (0,0), C=(20,0),C = (20, 0), and D=(20,30),D = (20, 30), so E=(5,0)E = (5, 0)

大提示：

因为 ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ，点 BB 在以 ACAC 为直径的圆上；它也在直线 DEDE 上

Since ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB lies on the circle with diameter AC;AC; it also lies on line DEDE

解答：

设 A=(0,0)A = (0,0)，C=(20,0)C = (20, 0)。因为 ∠ACD=90∘\angle ACD = 90^\circ，所以 D=(20,30)D = (20, 30)；又因 AE=5AE = 5，所以 E=(5,0)E = (5, 0)。

因为 ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ，点 BB 在以 (10,0)(10, 0) 为圆心、半径为 1010 的圆上。直线 DEDE 上的点可写为 (5+t, 2t)(5 + t,\, 2t)；代入圆方程得到 t2−2t−15=0t^2 - 2t - 15 = 0，所以 t=5t = 5 或 t=−3t = -3。

为使 EE 位于 BB 与 DD 之间，取 t=−3t = -3，得到 B=(2,−6)B = (2, -6)，它到直线 ACAC 的距离为 66。

于是 [ACD]=12⋅20⋅30=300[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300，且 [ABC]=12⋅20⋅6=60[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60，总面积为 360360。

因此，正确答案是 D。

Place A=(0,0)A = (0,0) and C=(20,0).C = (20, 0). Since ∠ACD=90∘,\angle ACD = 90^\circ, D=(20,30),D = (20, 30), and E=(5,0)E = (5, 0) because AE=5.AE = 5.

Since ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB lies on the circle of radius 1010 centered at (10,0).(10, 0). Line DEDE is (5+t, 2t);(5 + t,\, 2t); substituting gives t2−2t−15=0,t^2 - 2t - 15 = 0, so t=5t = 5 or t=−3.t = -3.

For EE to lie between BB and D,D, take t=−3,t = -3, giving B=(2,−6),B = (2, -6), a distance 66 below line AC.AC.

Then [ACD]=12⋅20⋅30=300[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300 and [ABC]=12⋅20⋅6=60,[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60, so the total area is 360.360.

Thus, D is the correct answer.

第 17 题#17
完整试卷
第 19 题#19

其他年份的第 18 题

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