Question

一个四边形的顶点都在 $y = \ln x$ 的图像上，且这些顶点的 $x$ 坐标是连续的正整数。该四边形的面积为 $\ln\dfrac{91}{90}$ 。最左边顶点的 $x$ 坐标是多少？

The vertices of a quadrilateral lie on the graph of $y = \ln x,$ and the $x$ -coordinates of these vertices are consecutive positive integers. The area of the quadrilateral is $\ln\dfrac{91}{90}.$ What is the $x$ -coordinate of the leftmost vertex?

$6$

$7$

$10$

$12$

$13$

答案：D

知识点：鞋带公式对数二次方程

难度评级：1860

小提示：

令 $x$ 坐标为 $n, n+1, n+2, n+3$ ，并使用鞋带公式

Let the $x$ -coordinates be $n, n+1, n+2, n+3$ and apply the shoelace formula

大提示：

面积化简为 $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}$ ；令它等于 $\ln\dfrac{91}{90}$ 。

The area simplifies to $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)};$ set it equal to $\ln\dfrac{91}{90}$

解答：

设四个顶点的 $x$ 坐标为 $n, n+1, n+2, n+3$ ，对应的 $y$ 坐标为对这些数取 $\ln$ 所得的值。用鞋带公式并化简，面积为 $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}$ 。

令 $\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}$ ，得到 $1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90}$ ，所以 $n^2 + 3n = 180$ 。

因此 $(n - 12)(n + 15) = 0$ ，所以 $n = 12$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the vertices have $x$ -coordinates $n, n+1, n+2, n+3$ with $y$ -coordinates $\ln$ of those values. Applying the shoelace formula and simplifying, the area is $\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.$

Setting $\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}$ gives $1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},$ so $n^2 + 3n = 180.$

Then $(n - 12)(n + 15) = 0,$ so $n = 12.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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