Question

设 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为实数，满足

$a + b + c = 2$ 且 $a^2 + b^2 + c^2 = 12\text{。}$

$c$ 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that

$a + b + c = 2$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 12.$

What is the difference between the maximum and minimum possible values of $c?$

$2$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{16}{3}$

$\dfrac{20}{3}$

答案：D

知识点：二次方程不等式极端原理

难度评级：1960

小提示：

写成 $a + b = 2 - c$ 和 $a^2 + b^2 = 12 - c^2$ 。

Write $a + b = 2 - c$ and $a^2 + b^2 = 12 - c^2$

大提示：

具有给定的和与平方和的实数 $a, b$ 存在，当且仅当 $(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ 。

Real $a, b$ with a given sum and sum of squares exist iff $(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$

解答：

由方程可得 $a + b = 2 - c$ 和 $a^2 + b^2 = 12 - c^2$ 。具有给定的和与平方和的实数 $a, b$ 存在，当且仅当 $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ ，也就是 $(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2)$ 。化简得 $(3c - 10)(c + 2) \le 0$ ，所以 $-2 \le c \le \tfrac{10}{3}$ 。最大值与最小值之差为 $\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}$ 。所以正确答案是 D。

From the equations, $a + b = 2 - c$ and $a^2 + b^2 = 12 - c^2.$ Real numbers $a, b$ with a given sum and sum of squares exist iff $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),$ i.e. $(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).$ This simplifies to $(3c - 10)(c + 2) \le 0,$ so $-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.$ The difference is $\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.$ Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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