Question

对某些实数 $a$ 和 $b$ ，方程 $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0$ 有三个不同的正根。若这些根的以 $2$ 为底的对数之和为 $5$ ，则 $a$ 的值是多少？

For some real numbers $a$ and $b,$ the equation $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0$ has three distinct positive roots. If the sum of the base- $2$ logarithms of the roots is $5,$ what is the value of $a?$

$-256$

$-64$

$-8$

$64$

$256$

答案：A

知识点：韦达定理对数

难度评级：1770

小提示：

根的 $\log_2$ 之和等于根的乘积的 $\log_2$ 。

The sum of $\log_2$ of the roots equals $\log_2$ of their product

大提示：

对于 $8x^3 + \cdots + a$ 根的乘积为 $-\dfrac{a}{8}$ 。

For $8x^3 + \cdots + a,$ the product of the roots is $-\dfrac{a}{8}$

解答：

以 $2$ 为底的对数之和为 $\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5$ ，所以 $r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32$ 。由 Vieta 公式，方程 $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a$ 的根的乘积为 $-\dfrac{a}{8}$ 。因此 $-\dfrac{a}{8} = 32$ 得到 $a = -256$ 。

因此正确答案是 A。

The sum of the base- $2$ logarithms is $\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,$ so $r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.$ By Vieta’s formulas on $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,$ the product of the roots is $-\dfrac{a}{8}.$ Thus $-\dfrac{a}{8} = 32,$ giving $a = -256.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B 第 17 题

答案：A

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题