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2008 AMC 12B 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

设 AA、BB、CC 是抛物线 y=x2y = x^2 上三个不同的点，其中直线 ABAB 平行于 xx 轴，且 △ABC\triangle ABC 是面积为 20082008 的直角三角形。点 CC 的 yy 坐标的各位数字之和是多少？

Let A,A, BB and CC be three distinct points on the graph of y=x2y = x^2 such that line ABAB is parallel to the xx-axis and △ABC\triangle ABC is a right triangle with area 2008.2008. What is the sum of the digits of the yy-coordinate of C?C?

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答案：C
知识点：抛物线斜率三角形面积数字
难度评级：1800
小提示：

写 A=(a,a2)A = (a, a^2) 和 B=(−a,a2)B = (-a, a^2)；由于 A,B,CA, B, C 的 xx 坐标不同，直角在 CC 处。

Write A=(a,a2)A = (a, a^2) and B=(−a,a2);B = (-a, a^2); since A,B,CA, B, C have distinct xx-coordinates, the right angle is at CC

大提示：

垂直边 CACA 和 CBCB 强制 a2−c2=1a^2 - c^2 = 1，这也是到 AB‾\overline{AB} 的高；由面积求 ∣a∣|a|，再求 c2c^2。

Perpendicular legs CACA and CBCB force a2−c2=1,a^2 - c^2 = 1, the height above AB‾;\overline{AB}; get ∣a∣|a| from the area, then c2c^2

解答：

因为 ABAB 水平，取 A=(a,a2)A = (a, a^2)、B=(−a,a2)B = (-a, a^2)，并设 C=(c,c2)C = (c, c^2)。直角不可能在 AA 或 BB 处（否则需要 c=±ac = \pm a），所以直角在 CC 处。

令 d=a2−c2d = a^2-c^2。计算 CA→\overrightarrow{CA} 与 CB→\overrightarrow{CB} 的点积，得到 d(d−1)=0d(d-1)=0。三点互异，所以 d≠0d \ne 0；因此 a2−c2=1a^2-c^2=1。这个值就是三角形相对于 AB‾\overline{AB} 的高。

面积为 12⋅AB⋅高\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{高} =12(2∣a∣)(1)= \tfrac12 (2|a|)(1) =∣a∣=2008= |a| = 2008，所以 a2=20082=4,032,064a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064，而 CC 的 yy 坐标为 c2=a2−1=4,032,063c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063。

它的数位和为 4+0+3+2+0+6+3=184 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18。

所以正确答案是 C。

Since ABAB is horizontal, take A=(a,a2)A = (a, a^2) and B=(−a,a2),B = (-a, a^2), and let C=(c,c2).C = (c, c^2). The right angle cannot be at AA or BB (that would need c=±ac = \pm a), so it is at C.C.

Put d=a2−c2.d = a^2-c^2. Taking the dot product of CA→\overrightarrow{CA} and CB→\overrightarrow{CB} gives d(d−1)=0.d(d-1)=0. The points are distinct, so d≠0;d \ne 0; hence a2−c2=1.a^2-c^2=1. This value is the height of the triangle above AB‾.\overline{AB}.

The area is 12⋅AB⋅height\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height} =12(2∣a∣)(1)= \tfrac12 (2|a|)(1) =∣a∣=2008,= |a| = 2008, so a2=20082=4,032,064a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064 and the yy-coordinate of CC is c2=a2−1=4,032,063.c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.

Its digit sum is 4+0+3+2+0+6+3=18.4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.

Thus, the correct answer is C.

第 16 题#16
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第 18 题#18

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