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2010 AMC 12A 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

等角六边形 ABCDEFABCDEF 的边长满足 AB=CD=EF=1AB=CD=EF=1 和 BC=DE=FA=r。BC=DE=FA=r\text{。} △ACE\triangle ACE 的面积是六边形面积的 70%70\%。rr 的所有可能值之和是多少？

Equiangular hexagon ABCDEFABCDEF has side lengths AB=CD=EF=1AB=CD=EF=1 and BC=DE=FA=r.BC=DE=FA=r. The area of △ACE\triangle ACE is 70%70\% of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of r?r?

433\dfrac{4\sqrt{3}}{3}

103\dfrac{10}{3}

44

174\dfrac{17}{4}

66

答案：E
知识点：等角多边形余弦定理韦达定理
难度评级：1960
小提示：

将六边形分成 △ACE\triangle ACE 和三个角上的三角形。

Split the hexagon into △ACE\triangle ACE and three corner triangles

大提示：

用 r2+r+1r^2+r+1 和 rr 表示两个面积。

Express both areas using r2+r+1r^2+r+1 and rr

解答：

注意 △ACE\triangle ACE 是等边三角形。在 △ABC\triangle ABC 中用余弦定理，得 AC2=r2+12−2rcos⁡120∘AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ =r2+r+1=r^2+r+1。

因此 △ACE\triangle ACE 的面积为 34(r2+r+1)。 \dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1)\text{。}

三个角上的三角形 △ABC\triangle ABC、△CDE\triangle CDE 和 △EFA\triangle EFA 各自面积为 12⋅1⋅r⋅sin⁡120∘=r34\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}。

所以六边形面积为 34(r2+r+1)\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1) +3⋅r34+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4} =34(r2+4r+1)=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1)。

条件 [ACE]=70%⋅[ABCDEF][ACE]=70\%\cdot[ABCDEF] 给出 r2+r+1=710(r2+4r+1)，r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1)\text{，} 所以 r2−6r+1=0r^2-6r+1=0。

由韦达定理，rr 的所有可能值之和为 66。

因此 E 是正确答案。

Note that △ACE\triangle ACE is equilateral. Using the Law of Cosines in △ABC,\triangle ABC, we get AC2=r2+12−2rcos⁡120∘AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ =r2+r+1.=r^2+r+1.

The area of △ACE\triangle ACE is then 34(r2+r+1). \dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).

The three corner triangles △ABC,\triangle ABC, △CDE,\triangle CDE, and △EFA\triangle EFA each have area 12⋅1⋅r⋅sin⁡120∘=r34.\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.

Thus the hexagon has area 34(r2+r+1)\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1) +3⋅r34+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4} =34(r2+4r+1).=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).

The condition [ACE]=70%⋅[ABCDEF][ACE]=70\%\cdot[ABCDEF] gives r2+r+1=710(r2+4r+1),r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1), so r2−6r+1=0.r^2-6r+1=0.

By Vieta’s formulas, the sum of the possible values of rr is 6.6.

Thus, E is the correct answer.

第 16 题#16
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第 18 题#18

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