Question

一枚不公平硬币正面朝上的概率为 $\dfrac14$ 。当投掷 $n$ 次时，恰好出现两次正面的概率与恰好出现三次正面的概率相同。 $n$ 的值是多少？

An unfair coin lands on heads with a probability of $\dfrac14.$ When tossed $n$ times, the probability of exactly two heads is the same as the probability of exactly three heads. What is the value of $n?$

$5$

$8$

$10$

$11$

$13$

答案：D

知识点：二项概率

难度评级：1830

小提示：

令 $\binom{n}{2}\left(\tfrac14\right)^2\left(\tfrac34\right)^{n-2}$ $= \binom{n}{3}\left(\tfrac14\right)^3\left(\tfrac34\right)^{n-3}$

Set $\binom{n}{2}\left(\tfrac14\right)^2\left(\tfrac34\right)^{n-2}$ $= \binom{n}{3}\left(\tfrac14\right)^3\left(\tfrac34\right)^{n-3}$

大提示：

消去公共因子，得到 $\binom{n}{2}\cdot 3 = \binom{n}{3}$ 。

Cancel common factors to reach $\binom{n}{2}\cdot 3 = \binom{n}{3}$

解答：

令两个概率相等，并消去 $\tfrac14$ 和 $\tfrac34$ 的公共幂，得 $\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14$ 。

这化为 $\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3$ $= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$ ，所以 $\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6}$ ，得 $n - 2 = 9$ ，即 $n = 11$ 。

因此，正确选项是 D。

Setting the two probabilities equal and cancelling the common powers of $\tfrac14$ and $\tfrac34$ gives $\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.$

This becomes $\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3$ $= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},$ so $\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},$ giving $n - 2 = 9$ and $n = 11.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题