Question

有若干组质数，例如 $\{7, 83, 421, 659\}$ ，恰好各使用九个非零数字一次。这样的质数组的和最小可能是多少？

Several sets of prime numbers, such as $\{7, 83, 421, 659\},$ use each of the nine nonzero digits exactly once. What is the smallest possible sum such a set of primes could have?

$193$

$207$

$225$

$252$

$477$

答案：B

知识点：质数数字最优化

难度评级：1800

小提示：

数字 $4, 6, 8$ 不能作为多位质数的个位，所以每个都必须是十位数字。

The digits $4, 6, 8$ cannot end a prime past one digit, so each must be a tens digit

大提示：

这三个数字至少贡献 $40 + 60 + 80$ ，剩下六个数字至少按个位贡献它们本身的和；再检查是否存在可行例子。

Those three contribute at least $40 + 60 + 80,$ and the remaining six digits at least their own sum as units digits; then check a valid set exists

解答：

偶数字 $4, 6, 8$ 不能作为多位质数的个位，所以每个都必须出现在十位或更高位，至少贡献 $40 + 60 + 80 = 180$ 。另外六个数字至少贡献 $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27$ ，因此总和至少为 $207$ 。

这个下界可以达到，例如 $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\}$ ，它们的和为 $207$ 。

因此，正确答案是 B。

The even digits $4, 6, 8$ cannot be the units digit of a multi-digit prime, so each must appear in a tens place or higher, contributing at least $40 + 60 + 80 = 180.$ The other six digits contribute at least $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27,$ so the sum is at least $207.$

This bound is achieved, for example by $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\},$ whose sum is $207.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A 第 17 题

答案：B

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题