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1974 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

若 i2=−1i^2=-1，则 (1+i)20−(1−i)20(1+i)^{20}-(1-i)^{20} 等于

If i2=−1,i^2=-1, then (1+i)20−(1−i)20(1+i)^{20}-(1-i)^{20} equals

−1024-1024

−1024i-1024i

00

10241024

1024i1024i

答案：C
知识点：复数指数
难度评级：1540
小提示：

分别计算两个共轭底数的四次方

Compute the fourth power of each conjugate base

大提示：

(1+i)4(1+i)^4 和 (1−i)4(1-i)^4 都等于 −4-4

Both (1+i)4(1+i)^4 and (1−i)4(1-i)^4 equal −4-4

解答：

由于 (1+i)2=2i(1+i)^2=2i，所以 (1+i)4=−4(1+i)^4=-4。同理，(1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i，且 (1−i)4=−4(1-i)^4=-4。因此，两个二十次方都等于 (−4)5=−1024(-4)^5=-1024，它们的差为 00。

因此，正确答案是 C。

Since (1+i)2=2i,(1+i)^2=2i, we have (1+i)4=−4.(1+i)^4=-4. Likewise (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i and (1−i)4=−4.(1-i)^4=-4. Hence each twentieth power equals (−4)5=−1024,(-4)^5=-1024, and their difference is 0.0.

Therefore, the correct answer is C.

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