Question

从顶点为 $A = (0, 2)$ 、 $B = (4, 0)$ 、 $C = (2\pi + 1, 0)$ 、 $D = (2\pi + 1, 4)$ 和 $E = (0, 4)$ 的五边形内部随机选取一点 $P$ 。 $\angle APB$ 为钝角的概率是多少？

A point $P$ is selected at random from the interior of the pentagon with vertices $A = (0, 2),$ $B = (4, 0),$ $C = (2\pi + 1, 0),$ $D = (2\pi + 1, 4),$ and $E = (0, 4).$ What is the probability that $\angle APB$ is obtuse?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：C

知识点：几何概率圆周角面积

难度评级：1790

小提示：

$\angle APB$ 是钝角，恰好当 $P$ 位于以 $AB$ 为直径的圆内

$\angle APB$ is obtuse exactly when $P$ lies inside the circle having $AB$ as diameter

大提示：

这个半圆完全位于五边形内，所以比较它的面积与五边形的面积

That semicircle lies entirely inside the pentagon, so compare its area to the pentagon’s area

解答：

当 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上时， $\angle APB = 90^\circ$ 。该圆的圆心为 $(2, 1)$ ，半径为 $\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ 。当 $P$ 在这个圆内时，该角为钝角。

相关的半圆完全在五边形内，面积为 $\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}$ 。

该五边形等于顶点为 $(0,0)$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的矩形减去三角形 $OAB$ ，所以面积为 $4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi\text{。}$

概率为 $\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}$ 。

因此，正确答案是 C。

$\angle APB = 90^\circ$ when $P$ is on the circle with diameter $AB,$ centered at $(2, 1)$ with radius $\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}.$ The angle is obtuse when $P$ is inside this circle.

The relevant half-disk lies wholly within the pentagon, with area $\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.$

The pentagon is the rectangle with corners $(0,0),$ $C,$ $D,$ $E$ minus triangle $OAB,$ so its area is $4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.$

The probability is $\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题