Question

有 $24$ 个不同的复数 $z$ 满足 $z^{24}=1$ 。其中有多少个使得 $z^6$ 是实数？

There are $24$ different complex numbers $z$ such that $z^{24}=1.$ For how many of these is $z^6$ a real number?

$0$

$4$

$6$

$12$

$24$

答案：D

知识点：单位根复数

难度评级：1910

小提示：

对 $k=0,1,\ldots,23$ ，写成 $z=e^{\frac{\pi i k}{12}}$ 。

Write $z=e^{\frac{\pi i k}{12}}$ for $k=0,1,\ldots,23$

大提示：

此时 $z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}$ ，它为实数当且仅当 $k$ 为偶数

Then $z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}},$ which is real exactly when $k$ is even

解答：

这 $24$ 个解是 $24$ 次单位根，即 $z=e^{\frac{\pi i k}{12}}$ ，其中 $k=0,1,\ldots,23$ 。

于是 $z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2}$ ，它为实数当且仅当 $\sin\dfrac{k\pi}{2}=0$ ，即 $k$ 为偶数。这个范围内有 $12$ 个偶数 $k$ 。

所以正确答案是 D。

The $24$ solutions are the $24$ th roots of unity, $z=e^{\frac{\pi i k}{12}}$ for $k=0,1,\ldots,23.$

Then $z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},$ which is real exactly when $\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,$ i.e. when $k$ is even. There are $12$ even values of $k$ in the range.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题