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2012 AMC 12A 第 17 题

先试着解答 2012 AMC 12A 第 17 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2012 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

设 SS 是 {1,2,3,…,30}\{1, 2, 3, \ldots, 30\} 的一个子集，且 SS 中任意两个不同元素的和都不能被 55 整除。SS 的最大可能大小是多少？

Let SS be a subset of {1,2,3,…,30}\{1, 2, 3, \ldots, 30\} with the property that no pair of distinct elements in SS has a sum divisible by 5.5. What is the largest possible size of S?S?

1010

1313

1515

1616

1818

答案：B
知识点：模运算子集极端原理
难度评级：1800
小提示：

按模 55 的余数给这些数分类；每一类都有 66 个数

Sort the numbers by their remainder modulo 55; there are 66 numbers in each class

大提示：

余数 11 和 44 不能同时出现，22 和 33 也不能同时出现，并且最多只能选一个 55 的倍数

Residues 11 and 44 cannot both appear, nor can 22 and 3,3, and at most one multiple of 55 is allowed

解答：

按模 55 的余数将 {1,…,30}\{1, \ldots, 30\} 分组；每类有 66 个数。当余数组合为 0+00{+}0、1+41{+}4 或 2+32{+}3 时，和能被 55 整除。

因此 SS 最多使用一个 ≡0\equiv 0 的数，并且在 {1},{4}\{1\}, \{4\} 两类中最多选一类，在 {2},{3}\{2\}, \{3\} 两类中最多选一类。这最多允许 1+6+6=131 + 6 + 6 = 13 个数。

集合 {1,2,6,7,11,12\{1, 2, 6, 7, 11, 12 16,17,21,2216, 17, 21, 22 26,27,30}26, 27, 30\} 可以达到 1313，所以最大值为 1313。

因此，正确答案是 B。

Group {1,…,30}\{1, \ldots, 30\} by residue modulo 5;5; each class has 66 numbers. A sum is divisible by 55 when the residues are 0+0,0{+}0, 1+4,1{+}4, or 2+3.2{+}3.

So SS can use at most one number ≡0,\equiv 0, and only one of the classes {1},{4}\{1\}, \{4\} and only one of {2},{3}.\{2\}, \{3\}. That allows at most 1+6+6=131 + 6 + 6 = 13 numbers.

The set {1,2,6,7,11,12,\{1, 2, 6, 7, 11, 12, 16,17,21,22,16, 17, 21, 22, 26,27,30}26, 27, 30\} achieves 13,13, so the maximum is 13.13.

Thus, the correct answer is B.

第 16 题#16
完整试卷
第 18 题#18

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