Question

设 $P$ 为方程 $y = x^2$ 的抛物线，并设 $Q = (20, 14)$ 。存在实数 $r$ 和 $s$ ，使得过 $Q$ 且斜率为 $m$ 的直线不与 $P$ 相交，当且仅当 $r \lt m \lt s$ 。 $r + s$ 是多少？

Let $P$ be the parabola with equation $y = x^2$ and let $Q = (20, 14).$ There are real numbers $r$ and $s$ such that the line through $Q$ with slope $m$ does not intersect $P$ if and only if $r \lt m \lt s.$ What is $r + s?$

$1$

$26$

$40$

$52$

$80$

答案：E

知识点：抛物线二次方程韦达定理

难度评级：2010

小提示：

直线为 $y = m(x-20) + 14$ ；令它等于 $x^2$ 。

The line is $y = m(x-20) + 14;$ set it equal to $x^2$

大提示：

无交点意味着判别式 $m^2 - 80m + 56 \lt 0$ ；用根 $r, s$ 的和。

No intersection means the discriminant $m^2 - 80m + 56 \lt 0;$ use the sum of the roots $r, s$

解答：

过 $Q$ 的直线为 $y = m(x-20) + 14$ 。代入 $y = x^2$ 得 $x^2 - mx + (20m - 14) = 0\text{。}$

没有交点当且仅当这个方程没有实根，也就是判别式 $m^2 - 4(20m-14)$ $= m^2 - 80m + 56$ 为负。这发生在 $m^2 - 80m + 56 = 0$ 的两个根 $r$ 与 $s$ 之间。

由韦达定理， $r + s = 80$ 。

所以正确答案是 E。

The line through $Q$ is $y = m(x-20) + 14.$ Substituting into $y = x^2$ gives $x^2 - mx + (20m - 14) = 0.$

There is no intersection exactly when this has no real root, i.e. when the discriminant $m^2 - 4(20m-14)$ $= m^2 - 80m + 56$ is negative. That happens between the two roots $r$ and $s$ of $m^2 - 80m + 56 = 0.$

By Vieta’s formulas, $r + s = 80.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B 第 17 题

答案：E

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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