Question

一个棱锥的底面是正方形 $ABCD$ ，顶点为 $E$ 。正方形 $ABCD$ 的面积为 $196$ ， $\triangle ABE$ 和 $\triangle CDE$ 的面积分别为 $105$ 和 $91$ 。这个棱锥的体积是多少？

A pyramid has a square base $ABCD$ and vertex $E.$ The area of square $ABCD$ is $196,$ and the areas of $\triangle ABE$ and $\triangle CDE$ are $105$ and $91,$ respectively. What is the volume of the pyramid?

$392$

$196\sqrt{6}$

$392\sqrt{2}$

$392\sqrt{3}$

$784$

答案：E

知识点：棱锥体积海伦公式

难度评级：1910

小提示：

底面边长为 $14$ ；给定的三角形面积给出到边 $AB$ 和 $CD$ 的斜距 $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14}$ 与 $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14}$ 。

The base has side $14;$ the given triangle areas give slant distances $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14}$ and $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14}$ to sides $AB$ and $CD$

大提示：

三角形 $EFG$ 的边长为 $15, 13, 14$ ，且所在平面垂直于底面；它到 $FG = 14$ 的高就是棱锥的高。

Triangle $EFG$ has sides $15, 13, 14$ and stands perpendicular to the base; its altitude to $FG = 14$ is the pyramid’s height

解答：

正方形边长为 $\sqrt{196} = 14$ 。令 $F$ 和 $G$ 分别为从 $E$ 到 $AB$ 和 $CD$ 的垂足。于是 $FG = 14$ ， $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15$ ，且 $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13$ 。

三角形 $EFG$ 位于垂直于底面的平面内，因此它到 $FG$ 的高就是棱锥的高。由海伦公式，半周长 $s = 21$ ，其面积为 $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84$ ，所以到 $FG$ 的高为 $\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12$ 。

体积为 $\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784$ 。

因此，正确答案是 E。

The square has side $\sqrt{196} = 14.$ Let $F$ and $G$ be the feet of the perpendiculars from $E$ to $AB$ and $CD.$ Then $FG = 14,$ $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15,$ and $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.$

Triangle $EFG$ lies in a plane perpendicular to the base, so its altitude to $FG$ is the pyramid’s height. By Heron’s formula with $s = 21,$ its area is $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84,$ so the altitude to $FG$ is $\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The volume is $\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.$

Thus, the correct answer is E.

2008 AMC 12B 第 18 题

答案：E

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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