Question

有多少个有序三元组 $(x, y, z)$ ，其中三个分量是互不相同且不超过 $8$ 的非负整数，并满足 $xy \gt z$ 、 $zx \gt y$ 和 $yz \gt x$ ？

How many ordered triples $(x, y, z)$ of distinct nonnegative integers less than or equal to $8$ satisfy $xy \gt z,$ $zx \gt y,$ and $yz \gt x?$

$36$

$84$

$186$

$336$

$486$

答案：C

知识点：不等式排列对称性

难度评级：2000

小提示：

$x, y, z$ 中没有一个能为 $0$ ，因为那样某个乘积等于 $0$ ，不可能大于一个非负值

None of $x, y, z$ can be $0,$ since then some product equals $0$ and cannot exceed a nonnegative value

大提示：

对互异的 $a \lt b \lt c$ ，唯一真正限制条件是 $ab \gt c$ ；数这样的 $3$ -元素子集，再乘以 $6$ 。

For distinct $a \lt b \lt c,$ the only binding condition is $ab \gt c$ ; count such $3$ -subsets, then multiply by $6$

解答：

如果某个变量为 $0$ ，例如 $z = 0$ ，那么 $zx = 0 \gt y$ 不可能成立。因此 $x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}$ 是互不相同的正整数。

条件是对称的。对互异的数值 $a \lt b \lt c$ 有 $ac \gt b$ 和 $bc \gt a$ 自动成立，所以唯一真正的限制是 $ab \gt c$ 。只要它成立，所有 $6$ 种排列都可行。

对每个可能的最小值 $a$ ，满足 $ab\gt c$ 的数对 $a\lt b\lt c\le8$ 的个数为 $\begin{array}{c|rrrrrr} a&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{个数}&0&11&10&6&3&1 \end{array}\text{。}$ 对固定的 $a,b$ ，这个个数来自在 $b+1$ 与 $\min(8,ab-1)$ 之间选取 $c$ 。因此共有 $31$ 个无序三元组，而且每个三元组的全部 $6$ 种排序都可行。答案为 $6\cdot31=186$ 。

因此，正确答案是 C。

If any variable is $0,$ say $z = 0,$ then $zx = 0 \gt y$ is impossible. So $x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}$ are distinct positive integers.

The conditions are symmetric. For distinct values $a \lt b \lt c,$ we have $ac \gt b$ and $bc \gt a$ automatically, so the only real constraint is $ab \gt c.$ When it holds, all $6$ orderings work.

For each possible smallest value $a,$ the numbers of pairs $a\lt b\lt c\le8$ satisfying $ab\gt c$ are $\begin{array}{c|rrrrrr} a&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{count}&0&11&10&6&3&1. \end{array}$ For fixed $a,b,$ this count comes from choosing $c$ between $b+1$ and $\min(8,ab-1).$ Thus there are $31$ unordered triples, and all $6$ orderings of each work. The answer is $6\cdot31=186.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题