Question

设 $z$ 是满足 $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31$ 的复数。 $z+\dfrac{6}{z}$ 的值是多少？

Let $z$ be a complex number satisfying $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.$ What is the value of $z+\dfrac{6}{z}?$

$-2$

$-1$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$4$

令 $p=|z|^2$ ， $s=z+\bar z$ ；用 $|w|^2=w\bar w$ 展开每个模长平方

Let $p=|z|^2$ and $s=z+\bar z;$ expand every modulus using $|w|^2=w\bar w$

方程会化简为 $(p-6)^2+(s+2)^2=0$

The equation collapses to $(p-6)^2+(s+2)^2=0$

令 $p=|z|^2=z\bar z$ ， $s=z+\bar z$ 。则 $|z+2|^2=p+2s+4$ ，且 $|z^2+1|^2$ $=p^2+(z^2+\bar z^2)+1$ $=p^2+(s^2-2p)+1$ 。

代入得 $12p=2(p+2s+4)$ $+p^2+s^2-2p+1+31$ ，化简为 $p^2-12p+s^2+4s+40=0$ 。

配方得 $(p-6)^2+(s+2)^2=0$ ，所以 $p=6$ ， $s=-2$ 。

于是 $z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2$ 。

所以正确答案是 A。

Let $p=|z|^2=z\bar z$ and $s=z+\bar z.$ Then $|z+2|^2=p+2s+4,$ and $|z^2+1|^2$ $=p^2+(z^2+\bar z^2)+1$ $=p^2+(s^2-2p)+1.$

Substituting, $12p=2(p+2s+4)$ $+p^2+s^2-2p+1+31,$ which simplifies to $p^2-12p+s^2+4s+40=0.$

Completing the square gives $(p-6)^2+(s+2)^2=0,$ so $p=6$ and $s=-2.$

Then $z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2.$

Thus, the correct answer is A.