Question

在所附图中， $AB$ 在 $A$ 点与圆心为 $O$ 的圆相切；点 $D$ 在圆内； $DB$ 与圆交于 $C$ 。若 $BC=DC=3$ 、 $OD=2$ 、 $AB=6$ ，则圆的半径为

In the adjoining figure, $AB$ is tangent at $A$ to the circle with center $O;$ point $D$ is interior to the circle; and $DB$ intersects the circle at $C.$ If $BC=DC=3,$ $OD=2$ and $AB=6,$ then the radius of the circle is

$3+\sqrt3$

$\frac{15}{\pi}$

$\frac92$

$2\sqrt6$

$\sqrt{22}$

答案：E

知识点：圆切线圆幂

难度评级：2130

小提示：

延长 $BD$ ，使其越过 $D$ 后再次与圆交于 $E$

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle again at $E$

大提示：

先用 $BC\cdot BE=AB^2$ ，再利用圆内点 $D$ 的幂

Use $BC\cdot BE=AB^2$ first, then use the power of interior point $D$

解答：

延长 $BD$ ，使其越过 $D$ 后与圆交于 $E$ 。因为 $BC=3$ 、 $BD=6$ ，切割线定理给出 $3\cdot BE=AB^2=36\text{，}$ 所以 $BE=12$ 、 $DE=6$ 。点 $D$ 的幂满足 $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2 \end{aligned}\text{，}$ 因而 $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4$ 。所以 $R^2=22$ ，且 $R=\sqrt{22}$ 。

所以正确答案是 E。

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle at $E.$ Since $BC=3$ and $BD=6,$ the tangent-secant theorem gives $3\cdot BE=AB^2=36,$ so $BE=12$ and $DE=6.$ The power of $D$ gives $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}$ hence $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.$ Thus $R^2=22$ and $R=\sqrt{22}.$

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 第 18 题

答案：E

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题