Question

设 $f$ 为一个多项式函数，且对所有实数 $x$ ，都有 $f(x^2+1)=x^4+5x^2+3\text{。}$ 则对所有实数 $x$ ， $f(x^2-1)$ 为

Let $f$ be a polynomial function such that, for all real $x,$ $f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.$ For all real $x,$ $f(x^2-1)$ is

$x^4+5x^2+1$

$x^4+x^2-3$

$x^4-5x^2+1$

$x^4+x^2+3$

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：多项式换元法代数变形

难度评级：1950

小提示：

将右边改写为关于 $x^2+1$ 的多项式

Rewrite the right side as a polynomial in $x^2+1$

大提示：

令 $t=x^2+1$ ，得到 $f(t)=t^2+3t-1$

Setting $t=x^2+1$ gives $f(t)=t^2+3t-1$

解答：

令 $t=x^2+1$ ，则 $\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $f(t)=t^2+3t-1$ 。代入 $t=x^2-1$ ，得到 $\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

With $t=x^2+1,$ $\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1. \end{aligned}$ Hence $f(t)=t^2+3t-1.$ Substituting $t=x^2-1$ gives $\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1983 AMC 12 第 18 题

答案：B

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题