Question

点 $D$ 位于三角形 $ABC$ 的边 $CB$ 上。若 $\angle CAD=\angle DAB=60^\circ$ 、 $AC=3$ 、 $AB=6$ ，则 $AD$ 的长度为

Point $D$ is on side $CB$ of triangle $ABC.$ If $\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,$ $AC=3$ and $AB=6,$ then the length of $AD$ is

$2$

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

答案：A

知识点：角平分线定理余弦定理代数变形

难度评级：2150

小提示：

角平分线定理给出 $\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}$

The angle bisector theorem gives $\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}$

大提示：

令 $CD=t$ 、 $DB=2t$ 、 $AD=d$ ；再对两个三角形应用余弦定理

Set $CD=t,$ $DB=2t,$ and $AD=d;$ then apply the law of cosines to the two triangles

解答：

由角平分线定理，可令 $CD=t$ 、 $DB=2t$ 。再令 $AD=d$ 。三角形 $ACD$ 与 $ABD$ 在 $A$ 处的角均为 $60^\circ$ ，对它们应用余弦定理，得到 $\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d \end{aligned}\text{。}$ 用第二个方程减去第一个方程的四倍，得到 $0=-3d^2+6d$ 。由于 $d\gt0$ ，所以 $d=2$ 。

所以正确答案是 A。

By the angle bisector theorem, write $CD=t$ and $DB=2t.$ Let $AD=d.$ The law of cosines in triangles $ACD$ and $ABD,$ whose angles at $A$ are both $60^\circ,$ gives $\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d. \end{aligned}$ Subtracting four times the first equation from the second yields $0=-3d^2+6d.$ Since $d\gt0,$ $d=2.$

Therefore, the correct answer is A.

1983 AMC 12 第 19 题

答案：A

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题