Question

若 $\tan\alpha$ 和 $\tan\beta$ 是 $x^2-px+q=0$ 的根，而 $\cot\alpha$ 和 $\cot\beta$ 是 $x^2-rx+s=0$ 的根，则 $rs$ 必定为

If $\tan\alpha$ and $\tan\beta$ are the roots of $x^2-px+q=0,$ and $\cot\alpha$ and $\cot\beta$ are the roots of $x^2-rx+s=0,$ then $rs$ is necessarily

$pq$

$\frac1{pq}$

$\frac{p}{q^2}$

$\frac{q}{p^2}$

$\frac pq$

答案：C

知识点：韦达定理分式方程

难度评级：1850

小提示：

第二个二次方程的根是第一个二次方程各根的倒数

The roots of the second quadratic are reciprocals of the roots of the first

大提示：

利用韦达定理，以 $p,q$ 表示它们的和与积

Use Vieta’s formulas to express their sum and product in terms of $p,q$

解答：

令第一组根为 $u=\tan\alpha$ 和 $v=\tan\beta$ 。则 $u+v=p$ ，且 $uv=q$ 。第二组根为 $\frac{1}{u}$ 和 $\frac{1}{v}$ ，所以 $\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q \end{aligned}\text{。}$ 因此 $rs=\frac{p}{q^2}$ 。

所以正确答案是 C。

Let the first roots be $u=\tan\alpha$ and $v=\tan\beta.$ Then $u+v=p$ and $uv=q.$ The second roots are $\frac{1}{u}$ and $\frac{1}{v},$ so $\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q. \end{aligned}$ Therefore $rs=\frac{p}{q^2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题