Question

在边长为 $m$ 的正方形中内切一个圆，再在该圆中内接一个正方形，再在后一个正方形中内切一个圆，如此继续。若 $S_n$ 是最前面 $n$ 个这样内切圆的面积之和，则当 $n$ 无限增大时， $S_n$ 趋近于：

A circle is inscribed in a square of side $m,$ then a square is inscribed in that circle, then a circle is inscribed in the latter square, and so on. If $S_n$ is the sum of the areas of the first $n$ circles so inscribed, then, as $n$ grows beyond all bounds, $S_n$ approaches:

$\dfrac{\pi m^2}{2}$

$\dfrac{3\pi m^2}{8}$

$\dfrac{\pi m^2}{3}$

$\dfrac{\pi m^2}{4}$

$\dfrac{\pi m^2}{8}$

答案：A

知识点：圆面积等比数列求和

难度评级：1480

小提示：

第一个圆的面积为 $\frac{\pi m^2}{4}$

The first circle has area $\frac{\pi m^2}{4}$

大提示：

每个后继圆的面积都是前一个圆面积的一半

Each successive circle has half the preceding circle’s area

解答：

第一个圆的面积为 $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}$ 。每个内接正方形使下一个圆的半径平方，从而也使其面积缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 。因此极限和为 $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The first circle has area $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.$ Each inscribed square reduces the next circle’s squared radius, and hence its area, by a factor of $\frac{1}{2}.$ Thus the limiting sum is $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：1480

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题