Question

令 $\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2} \end{aligned}\text{，}$ 则

Let $\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}$ then

$T\lt1$

$T=1$

$1\lt T\lt2$

$T\gt2$

$\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}$

答案：D

知识点：分母有理化裂项相消

难度评级：1740

小提示：

分别将每个分母有理化

Rationalize each denominator separately

大提示：

每个分母都是两个平方相差 $1$ 的平方根之差

Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by $1$

解答：

将五项的分母有理化，得 $\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $T\gt2$ 。

因此，正确答案是 D。

Rationalizing the five terms gives $\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}$ Thus $T\gt2.$

Therefore, the correct answer is D.

1974 AMC 12 第 20 题

答案：D

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题