Question

如图，在三角形 $ABC$ 中， $AB=4$ 、 $AC=8$ 。若 $M$ 是 $BC$ 的中点且 $AM=3$ ，则 $BC$ 的长度是多少？

In the adjoining figure triangle $ABC$ is such that $AB=4$ and $AC=8.$ If $M$ is the midpoint of $BC$ and $AM=3,$ what is the length of $BC?$

$2\sqrt{26}$

$2\sqrt{31}$

$9$

$4+2\sqrt{13}$

所给信息不足以求解

not enough information given to solve the problem

使用三角形三边与一条中线之间的关系

Use the relation between a triangle’s three sides and a median

阿波罗尼奥斯定理给出 $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

Apollonius’ theorem gives $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

令 $BM=CM=x$ ，则 $BC=2x$ 。由阿波罗尼奥斯定理， $4^2+8^2=2(3^2+x^2)\text{。}$ 因此 $80=18+2x^2,\ x^2=31$ ，从而 $BC=2\sqrt{31}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $BM=CM=x,$ so $BC=2x.$ By Apollonius’ theorem, $4^2+8^2=2(3^2+x^2).$ Hence $80=18+2x^2,\ x^2=31,$ and $BC=2\sqrt{31}.$

Therefore, the correct answer is B.