Question

计算 $\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ) \end{aligned}\text{。}$

Evaluate $\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}$

$0$

$\frac12\log_{10}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$

$\frac12\log_{10}2$

$1$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：logarithm product rule complementary angles tangent

难度评级：1570

小提示：

将角度为 $k^\circ$ 的项与角度为 $(90-k)^\circ$ 的项配对

Pair the term at angle $k^\circ$ with the term at angle $(90-k)^\circ$

大提示：

合并对数前，先利用 $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$

Use $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$ before combining logarithms

解答：

对每个 $k=1,\ldots,44$ ， $\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1\text{。}$ 因此，每一对对数之和都为 $\log_{10}1=0$ 。剩下的中间项为 $\log_{10}(\tan45^\circ)=0$ 。所以整个和为 $0$ 。

所以正确答案是 A。

For each $k=1,\ldots,44,$ $\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.$ Thus each paired sum of logarithms is $\log_{10}1=0.$ The remaining middle term is $\log_{10}(\tan45^\circ)=0.$ Hence the whole sum is $0.$

Thus the correct answer is A.

1987 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题