Question

设 $x$ 是从 $100$ 到 $200$ 之间均匀随机选取的实数。已知 $\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12$ ，求 $\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120$ 的概率。（ $\lfloor v\rfloor$ 表示不大于 $v$ 的最大整数。）

Let $x$ be a real number selected uniformly at random between $100$ and $200.$ If $\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12,$ find the probability that $\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120.$ ( $\lfloor v\rfloor$ means the greatest integer less than or equal to $v.$ )

$\frac2{25}$

$\frac{241}{2500}$

$\frac1{10}$

$\frac{96}{625}$

$1$

答案：B

知识点：条件概率取整函数几何概率

难度评级：2150

小提示：

把每个取整条件转化为 $x$ 所在的区间

Convert each floor condition into an interval for $x$

大提示：

条件概率等于两个相关区间长度之比

The conditional probability is the ratio of the two relevant interval lengths

解答：

已知条件等价于 $144\le x\lt169$ ，该区间的长度为 $25$ 。所求条件等价于 $120^2\le100x\lt121^2\text{，}$ 即 $144\le x\lt146.41$ 。这个区间的长度为 $2.41=\frac{241}{100}$ ，所以条件概率为 $\frac{\frac{241}{100}}{25}=\frac{241}{2500}\text{。}$

所以正确答案是 B。

The given condition is $144\le x\lt169,$ an interval of length $25.$ The desired condition is $120^2\le100x\lt121^2,$ or $144\le x\lt146.41.$ Its length is $2.41=\frac{241}{100},$ so the conditional probability is $\frac{\frac{241}{100}}{25}=\frac{241}{2500}.$

Thus the correct answer is B.

1989 AMC 12 第 20 题

答案：B

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题