Question

对某些正整数 $p$ ，存在一个四边形 $ABCD$ ，它的边长都是正整数，周长为 $p$ ，在 $B$ 和 $C$ 处为直角，且 $AB = 2$ 、 $CD = AD$ 。满足 $p \lt 2015$ 的不同周长有多少个？

For some positive integers $p,$ there is a quadrilateral $ABCD$ with positive integer side lengths, perimeter $p,$ right angles at $B$ and $C,$ $AB = 2,$ and $CD = AD.$ How many different values of $p \lt 2015$ are possible?

$30$

$31$

$61$

$62$

$63$

答案：B

知识点：勾股定理区间内整数计数

难度评级：2010

小提示：

从 $A$ 向 $\overline{CD}$ 作垂线；结合 $B,C$ 处的直角，会形成一个长方形

Drop a perpendicular from $A$ to $\overline{CD};$ with right angles at $B,C,$ that creates a rectangle

大提示：

若 $AE = x$ 且 $DE = y$ 则 $x^2 + y^2 = (2+y)^2$ ，这会迫使 $x$ 为偶数

If $AE = x$ and $DE = y$ then $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ which forces $x$ to be even

解答：

在每个这样的四边形中， $CD \ge AB$ 。设 $E$ 为从 $A$ 向 $\overline{CD}$ 所作垂线的垂足，则 $CE = 2$ 且 $AE = BC$ 。令 $x = AE$ 、 $y = DE$ ，所以 $AD = 2 + y$ 。

根据勾股定理， $x^2 + y^2 = (2+y)^2$ ，所以 $x^2 = 4 + 4y$ ，且 $x$ 为偶数。写作 $x = 2z$ 得 $y = z^2 - 1$ ，周长为 $x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4\text{。}$

递增的 $z = 1, 2, 3, \dots$ 给出满足条件且周长递增的四边形。当 $z = 31$ 时周长为 $1988$ ，当 $z = 32$ 时为 $2116$ 。因此 $p \lt 2015$ 的可能值有 $31$ 个。

因此，正确答案是 B。

In every such quadrilateral $CD \ge AB.$ Let $E$ be the foot of the perpendicular from $A$ to $\overline{CD};$ then $CE = 2$ and $AE = BC.$ Let $x = AE$ and $y = DE,$ so $AD = 2 + y.$

By the Pythagorean Theorem $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ so $x^2 = 4 + 4y$ and $x$ is even. Writing $x = 2z$ gives $y = z^2 - 1,$ and the perimeter is $x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.$

Increasing values $z = 1, 2, 3, \dots$ give the required quadrilaterals with increasing perimeter. For $z = 31$ the perimeter is $1988,$ and for $z = 32$ it is $2116.$ Therefore there are $31$ possible values of $p \lt 2015.$

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12A 第 19 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题