Question

在坐标平面中，从顶点为 $(0, 0)$ 、 $(2020, 0)$ 、 $(2020, 2020)$ 和 $(0, 2020)$ 的正方形内随机选取一点。该点在某个格点的 $d$ 个单位以内的概率为 $\tfrac12$ 。（若点 $(x, y)$ 的 $x$ 和 $y$ 都是整数，则称它为格点。） $d$ 四舍五入到十分位是多少？

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ and $(0, 2020).$ The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac12.$ (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

答案：B

知识点：几何概率圆面积格点

难度评级：1730

小提示：

由周期性，只需关注一个四个顶点都是格点的单位正方形

By periodicity, focus on a single unit square with a lattice point at each corner

大提示：

一个单位格子中的四个四分之一圆盘组成一个半径为 $d$ 的完整圆盘；令其面积为 $\tfrac12$ 。

The four quarter-disks in one unit cell form one full disk of radius $d;$ set its area to $\tfrac12$

解答：

由周期性，只需考虑一个四个角都是格点的单位格子。距离某个角不超过 $d$ 的区域由四个半径为 $d$ 的四分之一圆盘组成，合成一个面积为 $\pi d^2$ 的完整圆盘。所得的值将小于 $\tfrac12$ ，所以这些四分之一圆盘互不重叠。

令 $\pi d^2 = \tfrac12$ 得到 $d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399$ 。

四舍五入到十分位， $d = 0.4$ 。

因此，正确答案是 B。

By periodicity it suffices to consider one unit cell with a lattice point at each corner. The region within $d$ of a corner consists of four quarter-disks of radius $d,$ forming one full disk of area $\pi d^2.$ The resulting value will be less than $\tfrac12,$ so these quarter-disks do not overlap.

Setting $\pi d^2 = \tfrac12$ gives $d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.$

To the nearest tenth, $d = 0.4.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 16 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题