Question

若 $i^2=-1$ ，则和 $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ 等于

If $i^2=-1,$ then the sum $\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}$ equals

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-10i\sqrt2$

$\frac{21\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2}{2}(21-20i)$

$\frac{\sqrt2}{2}(21+20i)$

答案：D

知识点：复数三角恒等式求和

难度评级：2110

小提示：

比较下标为 $n+2$ 的项与下标为 $n$ 的项

Compare the term indexed by $n+2$ with the term indexed by $n$

大提示：

分别数出从 $0$ 到 $40$ 的偶数下标和奇数下标

Count the even and odd indices from $0$ through $40$

解答：

令 $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ$ 。则 $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n \end{aligned}\text{。}$ 每个偶数下标的项都等于 $\frac{\sqrt2}{2}$ ，每个奇数下标的项都等于 $-\frac{i\sqrt2}{2}$ 。共有 $21$ 个偶数下标和 $20$ 个奇数下标，所以总和为 $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i)$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $u_n=i^n\cos(45+90n)^\circ.$ Then $\begin{aligned} u_{n+2} &=i^{n+2}\cos(225+90n)^\circ\\ &=(-i^n)(-\cos(45+90n)^\circ)\\ &=u_n. \end{aligned}$ Every even-indexed term equals $\frac{\sqrt2}{2},$ and every odd-indexed term equals $-\frac{i\sqrt2}{2}.$ There are $21$ even indices and $20$ odd indices, so the sum is $\frac{\sqrt2}{2}(21-20i).$

Therefore, the correct answer is D.

1977 AMC 12 第 16 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题